Dalga Denklemi

Son güncelleme: 24.04.2009 15:08
  • Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar. Kullanım alanı, akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır. Denklemin dalga hareketinde bulunan herhangi bir u skaler büyüklüğü için gösterimleri

    noimage


    Burada c dalganın yayılma veya ilerleme hızıdır. Dalganın dağılması, yani ilerledikçe başka başka frekanslar haline bürünmesi olgusu (dispersion) göz önüne alınırsa denklemde c yerine
    faz hızı

    noimage

    kullanılır. Ayrıca daha gerçekçi sistemlerde hızın, dalganın genliğine bağlı olduğu dikkate alındığından denklem doğrusal olmayan

    noimage
    şeklinde biçimlenir.

    Tek boyutta çözümü

    Laplasyen tek boyutta adi türeve dönüşür. noimage


    d'Alembert çözümü

    noimage ve noimage

    tanımları yapılarak zincir kuralı yardımıyla:

    noimage

    yazılabilir.

    noimage

    olduğundan,

    noimage

    ifadesi ve aynı yol izlenerek

    noimage

    ifadesi elde edilebilir. İki denklem birbirinden çıkartılarak dalga denklemi buradan,

    noimage

    olarak yazılır. Dolayısıyla denklem,

    noimage

    durumuna indirgenmiş olur. Kısmî diferansiyel denklemin çözümü, tek tek değişkenler için integral alınarak

    noimage o

    larak bulunur. Burada f, +x yönünde ilerleyen, g de -x yönünde ilerleyen düzlem dalgayı betimler.

    Fourier dönüşümü ile

    Denklem yazılıp iki tarafa da Fourier dönüşümü

    noimage

    yapılırsa

    noimage

    biçimine dönüşür.

    noimage

    denkliği kullanılarak

    noimage

    diferansiyel denklemi elde edilir. Burada, noimage dönüşümü de uygulanarak dalga denkleminin w,k uzayındaki dağılım (dispersion) ilişkisini vermesi görülebilir. Elde edilmiş olan diferansiyel denklemin çözümü

    noimage

    olarak elde edilir. Ancak bu çözüm konum uzayı x de değil, başka bir uzay olan k uzayındaki çözümdür.

    noimage

    Çözümün konum uzayında bulunabilmesi için k uzayındaki çözüme ters Fourier dönüşümü uygulanır.

    noimage
    çözülüerek

    noimage
    Görüldüğü üzere birinci ve ikinci terim sırasıyla f ve g diye iki fonksiyonun Fourier dönüşümleri olarak kabul edilirse x uzayındaki çözüm

    noimage olarak elde edilir.

    Değişkenlere ayırma yöntemi ile

    Dalga denklemi karışık türevler içermediği için değişkenlere ayırma yöntemi kullanılarak da çözüme gidilebilir.

    noimage

    olarak yazılır ve denkleme konulursa denklem şu hali alır:

    noimage

    iki taraf da u ya bölünürse

    noimage

    iki tane birbirinden bağımsız değişkenin olduğu ifade birbirine ancak bir sabite eşit olmaları durumunda eşit olabileceğinden iki denklem de ayrı ayrı bu sabite eşitlenerek çözümler bulunabilir. Bu sabit pozitif, negatif ve sıfır olması durumlarında incelenerek diferansiyel denklemler çözülebilir ancak fizikte zaman genelde salınım olarak ortaya çıktığından sabit, − k2, k:reel seçilerek fiziksel olarak anlamlı çözüme hızlıca gidilebilir. Böylece denklemin sol tarafından:

    noimage

    ve sağ tarafından da

    noimage

    bulunur. Sinüs ve kosinüs ile elde edilen çözümler sınır koşullarını rahatça sağlayacaklarından genellikle sınır değer problemlerinde kullanılırlar. Dalga boşlukta hareket eden bir elektromanyetik bir ışınsa o zaman çözümleri K1eikx ve K2eikct olarak vermek daha rahat olur. Matematiksel olarak iki çözüm de doğru olmasına rağmen fiziksel kaidelerden serbest ve bağlı olarak çözümler böyle sınıflandırılabilir.


    noimage

    1 boyutlu dalga denklemi.
#24.04.2009 15:08 0 0 0