Kartezyen Çarpımı - Fonksiyon

SIRALI İKİLİ :
a ve b elemanlarının belirttiği ( a , b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili
denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin
değişmesindendir.
Yani : (a , b ) ≠ (b , a ) dir.
A
B
x
O
y
3
3
1
1


Örnek :
A( 1 , 3 ) noktası ile B( 3 , 1 ) noktası eşit noktalar değildir.
Noktalar kümesinin elemanları sıralı ikililerdir.




( a , b )
ikinci
bileşen
birinci
bileşen
Sıralı ikililerin bileşenleri birinci bileşen, ikinci bileşen olarak
adlandırılır.


Sıralı İkililerin Eşitliği :

Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve ikinci bileşenler birbirine eşit
olmalıdır.
Yani (x , y ) = (a , b ) ise x = a ve y = b
ÖRNEK :
( x + 3 , y – 1 ) = ( 6 , 4 ) ise x ve y sayıları kaçtır?
Çözüm :
Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve ikinci bileşenler birbirine eşit
olmalıdır.



Yani x +3 = 6 y – 1 = 4
x = 6 – 3 y = 4 + 1
x = 3 ve y = 5 bulunur.

( x + 3 , y – 1 ) = ( 6 , 4 )




1. ( x + 3 , y + 1 ) = ( 1 , 2 ) ise x = ? ve y = ?
2. ( 2x , y - 5 ) = ( 8 , -3 ) ise x = ? ve y = ?
3. ( x/2 , 3y ) = ( 6 , 0 ) ise x = ? ve y = ?
4. ( 2x + 1 , 4 ) = ( 7 , y - 2 ) ise x = ? ve y = ?


KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni A’ dan, ikinci bileşeni B’
den alınarak oluşturulabilecek tüm sıralı ikililerin kümesine, A ile B’ nin
kartezyen çarpımı denir ve A x B biçiminde gösterilir. Buna göre;
şeklinde gösterilir.
ÖRNEK : A = {1,2 } , B = {3,a} olduğuna göre A x B ve BxA kümelerini yazınız.
ÇÖZÜM :
AxB ≠ BxA
AxB = {(1,3), (1,a), (2 ,3), (2 ,a) }
BxA = {(3 ,1), (3,2 ), (a ,1), (a , 2)}
AxA = {(1,1), (1,2), (2 ,1), (2 ,2) }

ÖRNEK : Aynı futbol takımında oynayan Ali, Sertaç ve Tamer, 7, 10 ve 11
numaralı formaları giyebilirler. Bu oyuncuların seçebilecekleri formaları
gösteren sıralı ikilileri yazalım.
ÇÖZÜM : A kümesi A = { Ali , Sertaç , Tamer } = { A , S , T }
B kümesi B = { 7 , 10 , 11 }
A X B = { (A, 7 ), (A, 10), (A, 11 ), (S,7 ), (S,10 ), (S,11 ), (T, 7 ), (T, 10
), (T, 11 ) }

Kartezyen çarpımın analitik düzlemde gösterilmesi
Kartezyen çarpıma katılan kümeler sayı kümesi olursa sıralı ikililer nokta
gösterir. Sıralı ikililerin birinci bileşenleri x ekseni üzerinde, ikinci
bileşenleri y ekseni üzerinde işaretlenir.
x
O
y
2
1
1
-1
ÖRNEK : A = { -1, 1, 2 } , B = { 0, 1 } olduğuna göre A x B kümesini analitik
düzlemde gösterelim.
ÇÖZÜM :
A X B = { (-1 , 0 ), (-1 , 1), (1 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 2 , 0 ), (2 , 1 )}


ÖRNEK : A X B = { (-1 , 0 ), (-1 , 1), (1 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 2 , 0 ), (2 , 1 )}
kartezyen çarpımını oluşturan A ve B kümelerini yazalım.
ÇÖZÜM : Birinci bileşenler A kümesini, ikinci bileşenler B kümesini oluşturur.
Tekrar eden eleman küme içine bir kez yazılır.
A kümesi A = { -1, 1 , 2 }
B kümesi B = { 0, 1 }
ÖRNEK : A X B = { ( 0 , 0 ), ( 0 , 1), ( 0 , 2 ), ( -3 , 0 ), ( -3 , a ), (-3 ,
2 )} kartezyen çarpımında a ile gösterilen sayı kaçtır?
ÇÖZÜM : 0 ile başlayan sıralı ikililerin ikinci bileşenleri 0, 1, 2 dir. –3 ile
başlayan sıralı ikililerin ikinci bileşenleri de 0, 1, 2 olmalıdır. Bu nedenle a
elemanı 1 olmalıdır.
Yanda AXB kümesinin grafiği verilmiştir. Buna göre ;
AUB = ?
A∩B = ?
A / B = ?
O
x
y
2
1
-1
3
-3
2
1

ÇÖZÜM : Noktaların apsisleri A kümesinin elemanlarını, noktaların ordinatları B
kümesinin elemanlarını verir.
A kümesi A = { -1, 1 , 2 , 3 }
B kümesi B = { -3 , 0, 1 , 2 }
AUB = { -3 , -1, 1 , 0 , 2 , 3 }
A∩B = { 1 , 2 }


1. A = { 0, 1, 2 ) ve B = { -2, 2 } ise AXB = ?
2. A = { -2, 0, 3 ) ve B = { -1, 0, 1 } ise AXB = ?
3. A = { 2, 3, 4, 5 ) ve B = {6 } ise AXB = ?
4. A = { -1, 1, 2 ) ve B = { -3, 2, 5 } ise AXB çarpımını analitik
düzlemde gösteriniz.
5. A X B = { (A, 2 ), (A, 5), ( B, 2 ), ( B, 5 ), ( C, 2 ), ( C, 5 ) } ise
A ve B kümelerini yazınız.
6. A X B = { ( 2 , 2 ), ( 2 , 5), ( 2 , 8 ), ( 3 , 2 ), ( 3 , 5 ), ( 3 , 8
), ( a , 2 ), ( 4 ,5 ),( 4 , 8 ) } kartezyen çarpımında a ile gösterilen
sayı kaçtır?
7. A X B = { (-3, -2 ), (-3, 1), ( 0, -2 ), ( 0, 1 ), ( 2, -2 ), ( 2, 1 )
} ise AUB kümesini yazınız.


KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELLİKLERİ S(A) ; A kümesinin eleman sayısını göstermektedir.
1) s(AxB) = s(BxA) = s(A).s(B)
2) A≠B ise AxB ≠ BxA değişme özelliği yoktur.
3) (AxB)xC = Ax(BxC) birleşme özelliği vardır .
4) Ax(BUC) = (AxB)U(AxC)
5) Ax(B ∩C) = (AxB) ∩ (AxC)
6) AxA = A²

[COLOR="darkorange"]ÖRNEKLER
1. A = { 2, 5 } , B= { -1, 1, 3 } ve C = { 0, 4 } ise (AxB)U(AxC) kümesini
bulalım.

ÇÖZÜM : (AxB)U(AxC) = Ax(BUC) olduğundan önce BUC kümesini buluruz.

BUC = { -1, 0, 1, 3, 4 }

Ax(BUC) = { ( 2, -1 ), ( 2, 0 ), ( 2, 1 ), ( 2, 3 ), ( 2, 4 ), ( 5, -1 ), (
5, 0 ), ( 5, 1 ), ( 5, 3 ), ( 5, 4 )}

2. A, B ve C üç kümedir. s(BUC) = 4 ve s[Ax(BUC)] = 32 olduğuna göre A
kümesinin kaç elemanı vardır?
ÇÖZÜM : s[Ax(BUC)] = S(A). S(BUC) = 32
S(A). 4 = 32
S(A ) = 32:4 = 8
elemanı vardır.
3. A = { x : 2 < x < 5 ve x tam sayı } , B = { x : -1 < x < 7 ve x
tam sayı } ise Ax(B∩A) kümesinin eleman sayısını bulalım.
ÇÖZÜM :
A = { x : 2 < x < 5 ve x tam sayı } = { 3 , 4 }

B = { x : -1 < x < 7 ve x tam sayı } = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

B∩A = { 3 , 4 } ve
s [Ax(B∩A)] = s(A).s(B∩A) = 2.2 = 4 bulunur.
1. A = { 0, 1, 3, 5 } , B = { -1, 1, } ve C = { 2, 3, 5 } ise
Ax(BUC) kümesini bulunuz.
2. A , B ve C üç kümedir. s(B∩C) = 5 ve s[Ax(B∩C)] = 45 olduğuna göre
A kümesi kaç elemanlıdır?
3. AXB = { ( 0, -1 ), ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 0, 3 ), ( 0, 4 ), ( 3, -1 ), (
3, 0 ), ( 3, 1 ), ( 3, 3 ), ( 3, 4 )}
olduğuna göre A∩B = ?
4. A = { x : -2 < x < 2 ve x tam sayı } ve B = { x : -5 < x
< 0 ve x tam sayı } kümeleri veriliyor. (AxB) ∩ (AxC) kümesini bulunuz.

BAĞINTI

Günlük hayatımızda bağıntı sözcüğünü sıkça kullanırız. Matematikte kartezyen
çarpımın alt kümelerine Bağıntı denir.

Tanım : A ve B herhangi iki küme olsun. AxB ‘ nin her alt kümesine , A’ dan B’
ye bir bağıntı denir.

UYUMA :
AxA ‘ nın her alt kümesine A’ dan A’ ya bir bağıntı ya da A’ da bir bağıntı
denir.

ÖRNEK : AxB = {(1,3), (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } kartezyen çarpımının 4 tane
elemanı vardır.
Bu kümenin alt kümeleri sayısı 24 = 16 ‘dır.
O halde A ‘ dan B ‘ ye 16 tane bağıntı tanımlanabilir.
Örneğin
β1 = {(1,3), (1,a) } ve β2 = { (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } alt kümeleri A dan B ye
birer bağıntıdır.

SONUÇ : s(A) = m ve s(B) = n ise A dan B ye tanımlanabilen bağıntı sayısı 2m.n
tanedir.


ÖRNEKLER

1. Doğal sayılar kümesinde β = {(x,y)| x + y = 2 } bağıntısının sıralı
ikililerini yazalım.

ÇÖZÜM : Bağıntı (x , y ) şeklinde olan ve x ile y nin toplamı 2 olan sıralı
ikilileri yazın diyor.

Bunlar: β = {(0,2), (1,1), (2,0) } olur

2. Doğal sayılar kümesinde β = {(x,y)| x > y } bağıntısının sıralı
ikililerini yazalım.

ÇÖZÜM : Bağıntı (x , y ) şeklinde ve x in y den büyük olduğu sıralı ikilileri
yazın diyor.
Bu sıralı ikililerin tümünü yazamayız.

Bu nedenle β = {(1,0), (2,0), (3,0),..., (2,1), (3,1), (4,1),..., } şeklinde bu
bağıntının sıralı ikililerini gösterebiliriz.

3. Reel sayılar kümesinde β = { (x,y) | l x l = 3 ve x+2> y > 0 }
bağıntısının gösterdiği alan kaç birim karedir?

ÇÖZÜM : l x l = 3 demek x = ± 3 demektir.
x = 3 ' ü ikinci eşitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 , yani 5 > y > 0
olur.
x = - 3 ' ü ikinci eşitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 , yani -1> y > -3
olur.
Bölge bir kenarı 6 birim olan karedir. Alanı 6x6 = 36 olur.


Bağıntının Özellikleri


Yansıma Özeliği

TANIM : Her eleman kendisi ile bağıntılı ise bu bağıntıya yansıyan bağıntı
denir. Bu ifadenin matematik dilinde yazılışı şöyledir.
β , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A daki her x elemanı için ( x , x )
Є β olursa β bağıntısı yansıyandır.

ÖRNEK
İnsanlar kümesinde β bağıntısı “ eşit boylu olma “ bağıntısı olsun.
Bu bağıntı yansıyandır. Çünkü her insan kendisi ile eşit boydadır.

ÖRNEK
β = { (x , y) | y > x , ve x ile y doğal sayı } bağıntısı yansıyan olamaz.
Çünkü doğal sayılar kümesinde hiçbir doğal sayı kendisinden büyük olamaz.
Bu bağıntının elemanlarını yazalım. β = { (1 , 0), (2 , 0), (3 , 0), (4 , 0),
(5 , 0),... }
Beta bağıntısında (0 , 0), (1 , 1), (2 , 2), (3 , 3), (4 , 4) şeklinde sıralı
ikililer yoktur.
Beta bağıntısı yansıyan değildir.

Simetri Özeliği

TANIM : Tanım kümesinden alınan iki eleman x ve y olsun. x ile y bağıntılı iken
y ile x de bağıntılı olursa bu bağıntıya simetrik bağıntı denir. Bu ifadenin
matematik dilinde yazılışı şöyledir.
β , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A daki her x , y elemanı için ( x ,
y ) Є β iken ( y , x ) Є β olursa β bağıntısı simetriktir.

ÖRNEK
İnsanlar kümesinde β bağıntısı “ arkadaş olma “ bağıntısı olsun.
Bu bağıntı simetriktir. Çünkü x ile y arkadaş ise y ile x de arkadaştır.


ÖRNEK
β = { (x , y) | x + y = 3 , ve x ile y doğal sayı } bağıntısı simetriktir.
Çünkü doğal sayılar kümesinde x + y = 3 ise y + x = 3 olur.
Bu bağıntının elemanlarını yazalım. β = { (0 , 3), (3 , 0), (1 , 2), (2 , 1) }
Beta bağıntısında (0 , 0), (1 , 1), (2 , 2), (3 , 3), (4 , 4) şeklinde sıralı
ikililer yoktur.
Beta bağıntısı simetriktir ama yansıyan değildir.

Ters Simetri Özeliği

TANIM : Tanım kümesinden alınan iki farklı eleman x ve y olsun. x ile y
bağıntılı iken y ile x de bağıntılı olmaz ise bu bağıntıya ters simetrik
bağıntı denir. Bu ifadenin matematik dilinde yazılışı şöyledir.
β , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A daki her farklı x , y elemanı
için ( x , y ) Є β iken ( y , x ) Ï β olursa β bağıntısı ters simetriktir.
Eşit sıralı ikililer ters simetrikliği bozmaz.

ÖRNEK
İnsanlar kümesinde β bağıntısı “ uzun boylu olma “ bağıntısı olsun.
Bu bağıntı ters simetriktir. Çünkü x , y gibi farklı boyda iki insan alırsak x >
y olur ama y > x olmaz.

ÖRNEK : Aşağıda bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir.
1. İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı kendi mesleği
ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her insanın en fazla bir ve en az
bir tane mesleği olmalıdır. Oysa gerçekte bazı insanların iki mesleği olduğu
gibi bazı insanlarında mesleği olmayabilir. Bu bağıntı fonksiyon değildir.

2. Hayvanlar kümesinden yuvalar kümesine tanımlanan ve her hayvanı kendi
yuvasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her hayvanın en fazla ve en az bir
tane yuvası olmalıdır. Oysa gerçekte bazı hayvanların yuvalarının olmadığını
biliyoruz. Bu bağıntı fonksiyon değildir.

3. Çocuklar kümesinden babalar kümesine tanımlanan ve her çocuğu babasıyla
eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her çocuğun en fazla ve en az bir
tane babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun mutlaka bir babası mevcuttur ve bir
çocuğun iki babasının olması biyolojik olarak mümkün değildir. Bu bağıntı
fonksiyondur.
UNUTMA : Birkaç çocuğun aynı babaya sahip olması fonksiyon olmayı bozmaz.

4. Bir fabrikadaki işçilerle aldıkları ücretleri eşleştiren bağıntı fonksiyon
mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntı da fonksiyondur. Çünkü bedavaya çalışan olmayacağı için her
işçinin bir ücreti mutlaka vardır. Hiçbir patron bir işçiye iki ücret
vermeyeceğine göre her işçinin en fazla bir tane ücreti vardır. O halde bu
bağıntı fonksiyondur.

Fonksiyonlar genellikle yapılan eşlemeyi ifade eden kurallarla verilir.

ÖRNEK : f : A = { 1, 2, 3 } B
f(x) = 2x + 3
fonksiyonunun sıralı ikililerini yazalım:
Burada tanım kümesinin elemanları ( orijinaller ) verilmiş fakat görüntüler
verilmemiştir.

Fonksiyonun kuralında x yerine orijinalleri yerleştirerek görüntüleri bulacağız.

1 in görüntüsü f(1) = 2.1 + 3 = 5
2 nin görüntüsü f(2) = 2.2 + 3 = 7
3 ün görüntüsü f(3) = 2.3 + 3 = 9
f = { (1,5), (2,7), (1,c) , (3,9) } şeklinde gösterilir.

ÖRNEK : f = { (-4,3), (0,2), (1,5) , (2,-1), (-3,9), (3,2), (-2,-1) } fonksiyonu
veriliyor. Aşağıdaki soruları çözelim:
1. 1. 1. Tanım kümesi nedir?
2. 2. 2. Görüntü kümesi nedir?
3. 3. 3. f(2) = ?
4. 4. 4. f(-3) = ?
5. 5. 5. f(5) = ?
ÇÖZÜM :
1. Sıralı ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin elemanlarını verir.
A = { - 4, -3 , -2 , 0 , 1 , 2 , 3 }
2. Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri görüntü kümesinin elemanlarını verir.
B = { -1 , 2 , 3 , 5 , 9 }

3. f(2) = ? sorusu " 2 ' nin görüntüsü kaç demektir"
2 ' nin görüntüsü sıralı ikilide 2 nin karşısındaki sayıdır. f(2) = -1

4. f(-3) = ? sorusu " -3 ' ün görüntüsü kaç demektir"
-3 'ün görüntüsü sıralı ikilide -3 ün karşısındaki sayıdır. f(-3) = 9

5. f(5) = ? sorusu " 5 ' in görüntüsü kaç demektir"
5 'in görüntüsü sıralı ikilide 5 in karşısındaki sayıdır.
Sıralı ikililerin hiç birinde 5 birinci bileşen olarak yer almamıştır. Yani bu
fonksiyon 5 için tanımlanmamıştır.
5 in görüntüsü yoktur.


FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

SABİT FONKSİYON :
f : A B fonksiyonunda bütün orijinaller aynı görüntüye sahip ise f ye sabit
fonksiyon denir ve her x є A iзin f (x) = b юeklinde gцsterilir.
ÖRNEK :
A = { 2 ,5 ,7 , } olmak üzere
f : A B
f (x) = 6
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Çünkü f(2) = f(5) = f (7) = 6 ‘ dır .

ÖRNEK : Her işçisine aynı ücreti veren bir patronun işçileri ile aldıkları
ücretleri eşleştiren fonksiyon sabit fonksiyondur.

BİRİM FONKSİYON

f : A B
f(x) = x

f fonksiyonuna birim fonksiyon denir .
Yani her elemanın görüntüsü kendisine eşittir .
Birim fonksiyon genellikle I (x) ile gösterilir.

ÖRNEK :
Aşağıda A = { a,b ,c } kümesinde şema ile tanımlanan
I : A A
fonksiyonu birim fonksiyondur
Çünkü : I(x) = x olur.
I (a) = a , I (b) = b , I (c) = c dir .
ÖRNEK : Bir kameranın fonksiyonu görüntü almaktır. Kamera ile bir maçı çekersek
sonradan seyrettiğimizde kameranın her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirdiğini
görürüz. Yani hiçbir zaman Ahmet in görüntüsü Mehmet olmaz. Kamera her cismi
kendi görüntüsü ile eşleştirir. Kameranın fonksiyonu sabit fonksiyondur.

İÇİNE FONKSİYON

f : A B fonksiyonunda orijinallere ait görüntüler görüntü ( B ) kümesinin alt
kümesi oluyorsa f , içine fonksiyondur .
ÖRNEK:
Şemada tanım kümesi A = { a , b , c } ve görüntü kümesi B = { 1, 2, 3, 4 } dür.
Orijinallerin görüntülerinden oluşan görüntü kümesi f (A) = { 1, 2 } dir.
{ 1, 2 } C { 1, 2, 3, 4 } olur. f (A) kümesi B ' nin alt kümesidir. Fonksiyon
içinedir.
Sözün özü B kümesi A kümesinin görüntüleri ile örtülmezse fonksiyon içine olur

Beğeniler: 0
Favoriler: 0
İzlenmeler: 11263
favori
like
share
cetinim Tarih: 23.01.2012 15:48
tesekurler sagol
guzel prenses Tarih: 12.11.2011 21:24
tesekurler sagol
serhat1297 Tarih: 11.11.2011 18:55
sağol
sea star Tarih: 05.01.2010 18:39
sağol
tnelemre Tarih: 02.12.2009 18:19
tşkr çok güzel iii ki varsınız!!!!