1. Ana Sayfa
  2. Eğitim
  3. KARTEZYEN ÇARPIM kümeler

KARTEZYEN ÇARPIM kümeler

Son güncelleme: 21.12.2007 00:50
elma kurdu elma kurdu foto
  • KARTEZYEN ÇARPIM kümeler

    --------------------------------------------------------------------------------

    KARTEZYEN ÇARPIM
    Tanım: x ve y elemanlarının, sırası önemli olmak kaydıyla oluşturdukları
    (x Ş1.bileşen, y Ş2. Bileşen) elemanına sıralı ikili denir.

    Örnek: 3 ile 15 arasındaki tam sayılar için asal sayı, çift sayı şeklindeki bazı sıralı ikilileri yazınız.
    Asal sayı = {5,7,11,13}
    Çift sayı = {4,6,8,10,12,14}
    (5,4), (5,6), (7,10), (7, 4), ...
    Tanım: (a, b) ve (c, d) ikilileri birbirine eşitse a ile c, b ile d birbirine eşittir ki, buna ikililerin eşitliği denir.
    Yani; (a, b) = (c, d) Û a = c ve b = d' dir.
    Tanım:A ve B boş olmayan kümeleri için: 1. Bileşeni A' dan 2. Bileşeni B' den alınarak oluşturulan bütün ikililer kümesine AxB kartezyen çarpım kümesi denir.
    AxB = {(x,y) ; x є A ve y є}
    KARTEZYEN ÇARPIMIN ELEMAN SAYISI
    S(AxB)=s(BxA)=s(A).s(B)
    S(AxA)=s(A).s(A)={s(A)}2
    KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELL
    İĞİ

    AxB¹BxA (Değişme özelliği yok)
    Ax(BXC)=(AXB)XC (Birleşme özelliği)
    AX(BUC)=(AXB)U(AXC)
    AX(B∩C)=(AXB)∩(AXC)
    Axø=øXA=ø
    AXB=øÛA=ø veya B=ø' dir.

    =================================




    A=ía,b,cı s(A)=3
    Alfabenin ilk 3 harfi
    Boş Küme:Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
    Æ veya íı şeklinde gösterilir.

    SÌNÌZÌQ QÈI=R
    Sonlu Küme: Elemanları sayılabilen kümelerdir.
    Sonsuz Küme: Elemanları sayılamayan kümelerdir.
    Alt Küme:Bir A kümesinin her bir elemanı bir B kümesinin de elemanı ise A, B' nin alt kümesidir.
    A Ì B B kapsar A
    ¯ A, B' nin alt kümesidir.
    Kapsar
    Alt Küme Sayısı:n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n' dir.
    Özalt Küme: Bir A kümesinin alt kümelerinden kendisinin çıkarılmasıyla oluşan kümelere denir.
    nelemanlı bir kümenin özalt kümelerinin sayısı 2n -1' dir.
    ALT KÜMEN
    İN ÖZELLİKLERİ

    Bir A kümesi için Æ Ì A' dır. Ş Boş küme her kümenin alt kümesidir.
    Bir A kümesi için A Ì A' dır Ş Her küme kendisinin alt kümesidir.
    A Ì B ve B Ì A Û A = B
    A Ì B ve B Ì C Û A Ì C
    íÆıŞÆ, íÆı
    ÆŞÆ



    Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılabilen kümeleri kapsayan kümeye denir. " E " harfi ile gösterilir.
    Tümleme: Bir E evrensel kümesi verilsin. E içinde bir A kümesi olsun. E' nin içinde olup
    A' nın dışında kalan elemanların kümesine A' nın tümleyeni denir ve A¢ ile gösterilir.
    E
    A¢
    s(A) + s(A¢) = s(E)

    TÜMLEMEN
    İN ÖZELLİKLERİ

    ( A¢ )¢ = A 5. AÈE = E
    E¢ = Æ 6. AÇA¢ = Æ
    Æ¢ = E 7. AÈA¢ = E
    AÇE = A 8. AÌB Ş B¢ÌA¢
    Denk Küme: Eleman sayıları aynı olan kümelere denk küme denir.
    Eşit Küme: Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir.
    Ayrık Küme: Ortak elemanı olmayan kümelere denir.
    B
    İRLEŞİM İŞLEMİ

    İki kümenin birleşim işlemi bütün elemanların bir küme içinde belirtilmesi ile oluşur. Aynı elemanlar iki kere tekrarlanmaz.
    ÖZELL
    İKLER

    A È A = A (Tek kuvvet özelliği)
    A È B = B È A ( Değişme özelliği)
    A È ( B È C) = ( A È B ) È C (Birleşme özelliği)
    A È Æ = Æ È A = A (Etkisiz eleman Æ)
    A Ì B Ş A È B = B' dir
    A È B = Æ Û A = Æ ve B = Æ
    A ile B ayrık kümeler ise s( A È B ) = s( A ) + s( B )
    A ile B ayrık kümeler değil ise s( A È B ) = s( A ) + s( B ) - s( A Ç B )
    KES
    İŞİM İŞLEMİ

    İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir.
    ÖZELLİKLER
    1-)A∩A=A
    2-)A∩B=B∩A
    3-)A∩(B∩C)=(A∩C)∩C
    4-)A∩ø=ø∩A=ø (YUTAN ELEMAN ø DİR)
    5-)AÌBŞA∩B=A
    6-)A∩B =øŞA=ø VEYA B=ø VEYA A İLE B AYRIKTIR.

    DAĞILMA ÖZELLİĞİ
    1-)A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
    ***(A∩B)U(A∩B')=A∩(BUB')
    E
    =A∩E
    =A
    2-)AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)
    3-) DE MORGAN KURALI
    a)(AUB)'=A'∩B'
    b)(A∩^B)'=A'UB'

    FARK İŞLEMİ
    Tanım:A veB kümeleri verilsin .a'nın elemanı olup b'nin elemanı olmayan elemanların kümesine a fark b kümesi denir ve A-Bveya a\b ile gösterilir.
    A-B A∩B B-A
    SONUÇ:
    1-)S(AUB)=s(AUB) +S(A∩B) +S(B-A)
    2-)A-B=A∩B'
    Fark İşleminin Özellikleri:
    1-)A-A=ø
    2-)Ø-A=ø
    3-)A-ø=A
    4-)A-B¹B-A
    5-)E-A=A'
    3 KÜMENİN BİRLEŞİM KÜMESİNİN BULUNMASI


    s(AUBUC)=s(A)+s(B)+s©-s(A∩B)-s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)


    N elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin bulunması
    =========================






    Doğruluk değeri aynı olan önermelere DENK ÖNERMELER denir.
    Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen önermeye O ÖNERMENİN OLUMSUZU denir.Simgesi
    (p') dir.
    En az iki önermenin V(veya) ,L(ve),Ş(ise),Û(ancak ve ancak ise) bağlaçlarıyla birleştirilerek oluşturulan öner-
    melere BİRLEŞİK ÖNERME denir.




    P ve q önermeleri verilsin .En az biri doğru iken doğru, ikisi de yanlış iken yanlış olan önermedir .p V q (p veya q)

    P
    q
    p V q
    1
    1
    1
    1
    0
    1
    0
    1
    1
    0
    0
    0





    pLq önermeleri verilsin. Her ikisi de doğru iken doğru diğer durumlarda yanlış olan önermelerdir.pLq (p ve q)


    p
    q
    p Lq
    1
    1
    1
    1
    0
    0
    0
    1
    0
    0
    0
    0




    t p
    q
    p'
    q'
    p vq
    pLq
    p'vq'
    p'Lq'
    p'vq
    p'Lq
    pvq'
    pLq'
    1
    1
    0
    0
    1
    1
    0
    0
    1
    0
    1
    0
    1
    0
    0
    1
    1
    0
    1
    0
    0
    0
    1
    1
    0
    1
    1
    0
    1
    0
    1
    0
    1
    1
    0
    0
    0
    0
    1
    1
    0
    0
    1
    1
    1
    0
    1
    0





    1-)P V P ºP (v nin tek kuvvet özelliği)
    2-)P LP ºP(L nin tek kuvvet özelliği)
    3-)P V qºqVp/(V nin değişme özelliği)
    4-)PLqº q Lp(L nin değişme özelliği)
    5-)P V (q V r) º ( p Vq ) Vr (V nin birleşme özelliği)
    6-)p L (q Lr) º(pLq) Lr(L nin birleşme özelliği)
    7-)p V (q L r) º (p V q) L (p V r )(V nin L üzerinde dağılma özelliği)
    8-)p L(q V r) º (p Lr ) V ( q L r) ( L nin V dağılma özelliği)
    9-)( p V q)' º p'Lq' DE MORGAN
    10-)( P L q)' º p' V q' KURALI



    Bir bileşik önerme kendisini oluşturanönermelerin her değeri için daima doğru ise Totoloji , daima yanlış ise çelişme denir.


    p
    P'
    Pvp'
    pLp'
    1
    0
    1
    0
    0
    1
    1
    0

    Totoloji Çelişme
    ÖZELLİKLER:1-)PV1º1
    2-)PV0ºP
    3-)PL0º0
    4-)PL1ºP
    5-)PVP'º1
    6-)PLP'º0

    (
    Ş) İSE BAĞLACI

    İki önermenin ise (Ş) ile birleştirilmesiyle oluşan önermelerdir.Bu öneermelere KOŞULLU ÖNERME denir.Koşullu önermenin değeri 1 ise GEREKTİRME adını alır.
    PŞq (p ise q )şeklinde gösterilir.P nin doğru q nun yanlış olduğu durumlarda yanlış , diğer durumlarda doğrudur.

    p
    q
    PŞq
    1
    1
    1
    1
    0
    0
    0
    1
    1
    0
    0
    1

    p=q NIN KARŞITI, TERSİ VE KARŞIT TERSİ
    BİR PŞQ koşullu önermenin karşıtı qŞp koşullu önermesidir.
    pŞq koşullu önermenin tersi p'Şq'koşullu önermesidir.
    pŞq koşullu önermenin karşıt tersi q'Şp' koşullu önermesidir.
    p=q İSE BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
    1-)P=Qºq'=p'
    2-)p=qº p'vq
    3-)p=pº1
    4-)p=1º1
    5-)p=0ºp'
    6-)1=pºp
    7-)o=pº1
    8-)p=p'ºp'
    9-)p=pºp
    10-)p=q¹q=p
    11-)p=(q=r)¹(p=q)=r(birleşme özelliği yok)
#21.12.2007 00:50 0 0 0