Cisimlerde Gerilme

Son güncelleme: 18.12.2010 16:14

BiR-DOST

mühendislikte kullanılan malzemeler - cisimlerde gerilme analizi - cisimlerde mukavemet - cisimlerde şekil değiştirme - cisimlerin gerilme halleriMukavemette cisim olarak herhangi bir cisim değil mühendislikte kullanılan malzeme göz önüne alınır. Mühendislikte kullanılan malzemeler çeşitli şekillerde sınıflandırılırlar. Bu sınıflandırmalar için malzemelerin mikro yapılarına ve kimyasal bağlarını kriter olarak göz önüne alan sınıflama en tutarlı sınıflamalardan biridir.

Bu sınıflamaya göre malzemeler: a) metaller, b) alaşımları, c) seramikler, d) kompozitler olmak üzere dört gurupta toplana bilir.

GERİLME ANALİZİ

2.1 Bir Eksenli Gerilme Hali : Normal kuvvet etkisinde bulunan bir çubuğun dik kesitlerinde normal gerilmeler meydana geldiğini gördük şimdi çubuğun eğik kesimlerindeki durumu incelmek istiyoruz. Dik kesitteki gerilmelere 1 indisi ekleyerek şöyle yazabiliriz.

σ =N/F

Dik kesiti dış normali, çubuğun z ekseni doğrultusunda idi. Eğik kesitin eğimini tanımlamak için bu kesitin dış normalinin z ile yaptığı Ø açısını kullanacağınız ( şekil 2.1d). Eğik olan kesitin F' alanı daha büyüktür ve iz düşüm şartından

F'= F/ cos Ø ( 2.1 )

yazılır. Normal kuvvet eğik alanı üzerine de düzgün yayılacağından birim alana gelen kuvvet, yani eğik gerilme

tØ= N/F' =N/(F/cosØ) =(N/F)xcosØ =σ1xcosØ ( 2.2 )
olur. Yüzeye göre eğik olan bu gerilmeleri yüzeye normal ve yüzey içinde iki bileşene ayırırsak

σ = tØ x cos Ø
τ = -tØ x sin Ø ( 2.3 )
elde edilir. Görüldüğü gibi eğik kesitlerde normal gerilmeden başka kayma gerilmeleri de bulunmaktadır. Kayma gerilmelerine konan eksi işareti, bir işaret kabulünden doğmaktadır. Kayma gerilmesi için pozitif yönü şöyle tanımlıyoruz: Yüzeyin dış normalini matematik pozitif yönde ( saat ibrelerinin tersi yönünde ) yüzey üstüne getirmekle elde edilen yön, kayma gerilmeleri için pozitif yöndür

( 2.2) deki tØ değeri ( 2.3 ) de yerine konursa
σ = σ1 x cos²Ø
τ = - σ1 x sinØ x cosØ ( 2.4 )

elde edilir. Böylece eğik kesitlerdeki σ ve τ, dik kesitteki σ1 değerine bağlı olarak ifade edilmiş olmaktadır.

Eğik kesitlerde kayma gerilmeleri meydana gelişini şu deney gayet iyi açıklar ( Şekil 2.3): dik kesitle ayrılmış bir çubukta P kuvveti iletilebildiği halde eğik kesitle ayrılmış iki parçada yükü iletmek mümkün olmaz. Bu kayma etkisi, kesilmemiş çubukta malzeme tarafından taşınmaktadır.

formülleri Ø' nin 0º ile 360º arasındaki bütün değerleri için doğrudur. Ø yerine Ø+180º konursa karşı yüzeydeki gerilmeler elde edilir. Karşı yüzeydeki gerilmeler birbirinin aynı olmalıdır, formülde bu sonucu verir:

σØ + 180º = σØ
τØ + 180º = τØ ( 2.5 )
Yönleri ise birbirinin aksidir.
Birbirine paralel kesitlerde Ø aynı olduğundan gerilmeler aynıdır.
Birbirine dik olan iki kesitteki kayma gerilmeleri arasındaki bağıntı ilginçtir.
τØ + 90º = - σ1 x sin (Ø + 90º ) x cos ( Ø + 90º )
= - σ1 x cos Ø x ( -sinØ ) = - τØ
τØ + 90º = -τØ ( 2.6 )
O halde dik iki yüzeydeki kayma gerilmeleri şiddetçe aynı, işaretçe terstir.

İki Eksenli Gerilme Hali : Bir çubuğu keserek bir eksenli gerilme halini inceledik. Şimdi çubuk kavramını bir yana bırakılarak iki doğrultuda gerilme etkisinde bulunan bir cisim göz önüne alacağız , bu cisim bir plak veya kabuğun bir parçası olabilir; fakat aynı zamanda bir çubuk içindeki elemanda olabilir.

Şimdi cismin içinde, σ1 ile Ø açısı yapan bir yüzey üzerindeki gerilmeleri hesaplamak istiyoruz, bunun iki tane bir eksenli gerilme halinin toplamı olarak bulmak mümkündür.

Yalnız σ1 gerilmeleri etkisindeki cisim için ( Şek. 2.6 b) Ø eğimindeki yüzeyde meydana gelen gerilmeler ( 2.4 ) gereğince

σ = σ1 x cos² Ø
τ' = -σ1 x sinØ x cosØ

olur. Yalnız σ2 gerilmeleri etkisindeki cisimde ( şek. 2.6 c ) yine ( 2.4 ) formülleri kullanılabilir; ancak bu defa Ø yerine - ( 90º-Ø ) koymak gereklidir o halde
σ'' = σ2 x cos² [-( 90-Ø)]
τ'' = -σ2 x sin [-(90-Ø)] x cos x [-( 90-Ø)]
olur.
Cos [- ( 90-Ø ) ] = sinØ, sin [- ( 90-Ø ) ] = - cosØ
Olduğundan
σ'' = σ2 x sin²Ø
τ'' = σ2 x sinØ x cosØ
elde edilir.σ1 ve σ2' nin bir arada bulunması halinde
σ = σ' + σ2'', τ = τ' + τ'' olacağından
σ = σ1 x cos²Ø + σ2 x sin²Ø
τ = -σ1 x sinØ x cosØ + σ2 x sinØ x cosØ ( 2.7 )

elde edilir.

Bir Noktadaki Gerilme Hali: σ1 ve σ2 gerilmeleri etkisinde bulunan bir cisim göz önüne alalım. Cismin içindeki bir A noktasındaki gerilme halini bilmek, o noktadan geçen her eğimdeki yüzeyde bulunan gerilmeleri bilmek demektir. Bundan önceki kısımda çıkarılan formüller, σ1 ve σ2 verilince her hangi bir açık yüzeydeki gerilmeleri bulmak olanağını vermektedir şu halde bir noktadaki iki eksenli gerilme hali üç sayının verilmesi ile belirli olmaktadır. Bu üç sayı σ1, σ2, Ø olmak zorunda değildir. Gerçekten, A noktasını içine alan sonsuz küçük bir prizma alalım ve bunun yüzeylerinin normalini x ve y ile gösterelim ( şek. 2.7 a ). Bu yüzeylerdeki normal gerilmeler σx ve σy olsun. Kayma gerilmelerini iki indisle göstermek gerekmektedir. Birinci indis, gerilmenin etkidiği yüzeyin normalinin doğrultusunu, ikincim indis kendi doğrultusunu göstermektedir. Böylece ortaya çıkan τxy ve τyx kayma gerilmelerinin birbirine eşit olduğunu biliyoruz:
τxy = τyx

şimdi prizmanın yüzeylerindeki gerilmeleri σ1, σ2, Ø cinsinden hesaplayalım.x normalinin açısı Ø, y normalimin açısı Ø + 90º olduğundan

σ x = (σ1 + σ2)/2 + (σ1 -σ2 )/2xcos2Ø
σ y = (σ1 + σ2)/2 - (σ1 -σ2 )/2xsin2Ø
τxy =-(σ1 -σ2 )/2xcos2Ø (2.Karizmatik
bulunur.
Formüllerin yerine mohr dairesi kullan ılınırsa Şek.2.7c de gösterildiği üzere bir çapın iki ucunda bulunan C' ve C'' noktalarının apsis ve ordinatlarına geliriz.

Üç Eksenli Gerilme Hali: Cismin içindeki bir noktadan çıkarılan bir küp üzerinde genel olarak her yüzey üzerinde gerilme vardır. Bu gerilme bileşenleri Şek. 2.11' de gösterilmiştir. Daha öncede söylediğimiz gibi, τ' lardaki ilk indis etkidiği yüzeyin normalinin doğrultusunu ikini indis kendi doğrultusunu göstermektedir. Şek. 2.11 incelenirse, bir noktadaki gerilme halini karakterize etmek için 9 büyüklüğün bulunduğu görülür. Bir vektörün üç bilileşenle belli olduğu düşünülürse bir noktadaki gerilme halini vektörden de farklı bir büyüklük olduğu anlaşılır. Böylece 9 bileşenle beliren ve koordinat dönüşümünde belirli özellikler sağlayan büyüklüklere tansör denir. Gerilme tansörünün matris gösterimi
σx τxy τxz
τyz σy τyz
τzx τzy σz ( 2.7 )

şeklindedir. Ayrıca, daha önce yapıldığı gibi moment denge denklemleri kullanılarak
τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz ( 2.8 )
olduğu gösterilebilir. Bu gerilme tansörünün simetrik olduğunu ifade eder.

Bazı Özel Gerilme Halleri: Şek. 2.12' de bazı önemli gerilme hallerine ait mohr diyagramları çizilmiştir bunları kısaca gözden geçireceğiz.

a) Basit çekme ve basit basınç. Bunlar tek eksenli gerilme halleridir. Normal kuvvet halinde bu durum ortaya çıkar. En büyük kayma gerilmesi 45º eğimli kesitlerde meydana gelir.

b) İki doğrultuda eşit çekme veya eşit basınç.σ1 = σ2, σ3 = 0 halidir. Çekme olması hali Şek. 2.12 b' de gösterilmiştir; basınç halinde sadece işaret değişir. Bu haller gerilmesiz ( σ3 = 0) yüzeye dik kesilen yüzeylerde kayma gerilmesi bulunmaz.

c) Basit kayma iki eksenli gerilme halinde yüzeylerde yalnız kayma gerilmesi olması halidir. Asal gerilme bakımından σ2 = -σ1, σ3 = 0 olması halidir. Büyük mohr dairesinin merkezi, koordinat başlangıcında olur.

d) Hidrostatik çekme veya basınç.σ1 = σ2 = σ3 olması halidir. Eğer gerilmeler basınç ise bu hal sıvı basıncı etkisindeki bir elemanda meydana geldiğinden hidrostatik basınç hali adı verilmiştir. Aynı isim benzer olarak çekmeye de uygulanmaktadır. Bu halde mohr dairesi bir noktaya dejenere olur. ( Şek. 2.12 d ). Bütün kesitlerdeki normal gerilmeler birbirine eşit olur, kayma gerilmeleri ise sıfırdır.

Şekil Değiştirme: Dış kuvvetlerin etkiyle cisimlerin şekil değiştirdiklerini biliyoruz. Normal kuvvet halinde cismin bütününün boyut değiştirmesini hesaplamıştık. Şimdi cisimlerin düzlemsel şekil değiştirmesini daha yakından inceleyeceğiz.

Bir cismin bir A noktasını ve bu noktadan geçen birbirine dik AB ve AC doğrultularının göz önüne alalım.A,B,C noktaları yer değiştirsin ve A', B', C' noktalarına gitmiş olsun. Eğer A'B', AB den büyük ise bu doğrultuda bir boy değiştirme vardır. Keza, eğer < B'A'C',< BAC den farklı ise bir açı değiştirmesi vardır. İşte şekil değiştirme, boy değiştirmesi ve açı değiştirmesi olmak üzere bu iki tipe göre tanımlanır.

Yer değiştirme, doğrudan doğruya noktaların yeni konumunu tanımlar. AA' ye yer değiştirme diyoruz. Yer değiştirme ile şekil değiştirme arasında bağıntı vardır. Ancak şekil değiştirme noktaların bağıl konumları arasında değişme olmasına bağlıdır. Hiç şekil değiştirme yapmayan bir yer değiştirmeye rijit yer değiştirme adı verilir.

Boy değiştirmenin ölçülme şeklini daha önce görmüştük. Bunun için birim uzamayı (uzama oranı ) göz önüne alıyorduk. A noktası köşe olarak üzere lx, ly, lz kenarlı küçük bir prizma göz önüne alalım (Şek. 2.14 ). lz kenarı kağıt düzlemine diktir. Şekil değiştirmeyi bulmak için A dan geçen bir doğrultudaki boy uzamasını bilmek yetişmez. Ona dik doğrultudaki şekil değiştirmeyi de bilmek gerekir. Böylece şekil değiştirmenin üç bileşeni şöyle olur.

(1) x doğrultusundaki birim uzama. Bu doğrultudaki ilk boy lx, boydaki uzama δx ise
єx = δx/lx (2.9)
olur.Uzama yerine kısalma olunca єx in negatif olacağı önceden bilinmektedir.
(2) y doğrultusunda ki birim uzama. Bu doğrultudaki ilk boy ly, boydaki uzama δy ise
єy = δy/ly (2.10)
olur.
(3) xy doğrultusundaki açı değiştirme. Bunu daha önce işlemiştik. Açı değiştirme, dik bir açıdaki küçülme miktarı ile ölçülmektedir. Açı küçülüyorsa pozitif sayılmaktadır. Açılar radyan ile ölçüldüğüne göre boyutsuz bir büyüklüktür. İki doğrultuyu ilgilendirdiği için iki indis konarak γxy veya γyx ile gösterilir.şu halde şek. 2.14 c den
γ1+γ2 = γxy = π /2 - B'A'C' (2.11)

Genel Hooke Kanunları :Normal kuvvet halinde Hooke kanununun, normal gerilme ile birim uzamanın orantılı olması şeklinde açıkladık :
є = σ/E
Şimdi bir noktadaki gerilmeyi belirten altı büyüklük ile bu noktadaki şekil değiştirmeyi belirten altı büyüklük arasında, kısacası gerilme ve şekil değiştirme tansörleri arasında bir bağıntı kurmak istiyoruz .bu bağıntılar yine benzer orantılılık kanunu olacaktır.

x doğrultusunda etkiyen bir σx gerilmesi, o doğrultuda bir uzama getirdikten başka y ve z doğrultularında da meydana getiriyordu (Şek. 2.15 ). Bunlarda göz önünde tutulur ve σx' den başka σy' nin de var olduğu düşünülürse birim uzamalar şöyle elde edilir:
єx = 1/E [σx - ν ( σy + σz )]
єy = 1/E [σy - ν (σx + σz )]
єz = 1/E [σz - ν (σx + σy)]

Şekil Değiştirme Enerjisi: Cisme etkiyen dış kuvvetler cismin, şekil değiştirmesi sırasında bir iş yaparlar. Bu iş cisimde depo edilir ve geriye alınabilir. Buna elastik enerji veya şekil değiştirme enerjisi adını veriyoruz.

Bütün cisimdeki şekil değiştirme enerjisi, cismin küçük elemanlarındaki enerjinin toplamı, inteğralidir. Bu bakımdan önce bir küçük hacim elemanındaki enerjinin hesabını göreceğiz.

Bu arada işin, kuvvetin yol üzerindeki iz düşümü ile yolun çarpımına ait olduğunu hatırlayalım. Kuvvetin izdüşümü yol boyunca sabit kalıyorsa iş hesabı basit bir çarpımdan ibaret olur. Kuvvet değişken ise işi bir inteğral ile hesaplamalıdır

U1→2 = ∫Pt'ds = ( Pt)ort. (s2-s1)

Mukavemet Hipotezleri: Yapılarda kullanılan malzemenin bir dayanma sınırı vardır: Gerilmeler beliril bir sınıra gelince malzeme işe yaramaz hale gelir. Bu dayanma sınırı, sünek malzemenin akma gerilmesi, gevrek malzemede kırılma gerilmesidir. Malzeme bir eksenli gerilme halinin etkisinde ise bu sınır gerilmesini bulmak kolaydır. Çekme ve basınç halinde laboratuarda deneyler yapılarak bu sınırlar bulunur. Bu sınır gerilmeleri σm ve σm' ile göstereceğiz. Burulma yardımıyla kayma mukavemetinde bulmak mümkün olur ancak yapıdaki malzemenin herhangi bir noktasındaki gerilmeler her zaman bir eksenli değildir.σ1, σ2, σ3 gibi üç eksenli gerilme halinin etkisindeki bir cisim için ise kolayca bir hükme varmak mümkün değildir. Çok eksenli gerilme hallerinde, laboratuarda deneyle sonuca ulaşmak çok zor hatta imkansızdır; üstelik gayet karışık araçlara ihtiyaç gösterir. Üç eksenli gerilme hallerinden sadece hidrostatik basınç haline ait deneyler nispeten kolayca yapılmaktadır bu halde basınç ne kadar yükselirse yükselsin malzemenin dayandığı saptanmıştır.

alıntı

#18.12.2010 16:14 0 0 0