1. Ana Sayfa
  2. Eğitim
  3. Küme Kavramı

Küme Kavramı

Son güncelleme: 28.09.2011 15:20
Gül_yarasi Gül_yarasi foto
  • Küme Kavramı Nedir - Matematikte Küme Kavramı - Küme Kavramı Hakkında - Kümeler
    Kümenin tanım yoktur. Bundan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır. Kümeye ait olan şeylere kümenin elemanı denir. Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∆ simgesi ile gösterilir.
    Küme üç türlü ifade edilir.
    1. Liste Yöntemi :
    Kümeye ait olan şeyler iki paragraf parantezi içine liste olarak yazılır. (Bir eleman küme de ancak bir kez yazılır.)
    Örneğin; {1, 2, 3, 4}
    {a, b, c, d, e}
    kümeleri liste ile yazılmıştır.
    2. Koşullu Yöntem (Ortak Özellikli Yöntem)
    Kümeyi oluşturan şeylerin ortak özellikleri varsa bu yöntemle yazılır. Kümeye ait olan şeyleri bir harfle gösterir, bir çizgi veya ( koyarak ortak özelliği belirten gerek ve yeter koşuluna uyarız. Bunu da iki paragraf parantezi arasında gösteririz.
    B = { x | 0 < x < 5, x ÎZ }
    (Bu kümeni elemanlarının olduğunu görüyoruz.)

    3. Şema İle Gösterme :
    kümeye ait şeyleri bir kapalı eğri içinde yazarız.
    Örneğin B = {1, 2, 3, 4} ise bunun şema ile gösterimi:




    şeklindedir.
    Kümenin elemanı (Œ;) ile belirlenir. Örneğin yukarıdaki küme için 2 Œ B, 3 Œ B gibi.
    5 œ B (5, B nin elemanı değildir.)

    EŞİT KÜMELER
    Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.
    Örneğin A = {0, 1, 2, 3}
    ve B = { x | 0 ≤ x < 4, x ÎZ }
    kümeleri eşit kümelerdir. (A = B)
    Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) olarak belirlenir. s(A) = 4 gibi. Ya da n(A) ile belirlenir.
    ALT KÜME
    A kümesinin her elemanı B kümesinin bir emelanı ise A ya B nin alt kümesi veya B, A kümesini kapsar denir. A Ã B biçiminde gösterilir.
    Örneğin
    A = {0, 2, 4} ve B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ise
    A Ã B dir.
    Alt Kümenin Özellikleri :
    1. Ø, Her A kümesinin bir alt kümesidir. 2. Her küme kendisinin alt kümesidir. "A, A Ã A (yansıma özelliği)
    3. A Ã B , B Ã A ª A Ã C (geçişme özelliği) 4. A Ã B , B Ã A ª A = B (Ters simetri özelliği)
    n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.
    ÖZ ALT KÜME
    Kendinden başka alt kümelere öz alt küme denir.
    n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2n-1 dir.
    n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı:
    ( ) = formülü ile kullanılır.
    NOT :
    n elemanlı bir kümede r elemanlı alt kümelerin sayısı n - r elemanlı alt küme sayısına eşittir.
    Bir A kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin sayısı iki elemanlı alt kümelerinin sayısına eşitse bu küme kaç elemanlıdır?
    Çözüm : n elemanlı kümede r elemanlı alt kümelerin sayısı n - r elemanlı alt kümelerin sayısına eşittir.
    r = (n - r) = n olduğu için
    3 + 2 = 5, A kümesinin eleman sayısıdır.
    A = {a, b, c} kümesinin kaç tane alt kümesi, kaç tane özalt kümesi vardır?
    Çözüm : Alt küme sayısı 23 = 8, Öz alt küme sayısı 23 - 1 = 7 dir.
    A = {a, b, c, d, e, f} kümesnin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b elemanı vardır?
    Çözüm : Aranılan alt kümelere {b, ., .} biçimindedir. (.) ların yerine kümenin b den başka 5 tane elemanından 2 tanesi gelecektir. O halde; ( ) = = 10. 10 tane üç elemanlı alt kümede b vardır.
    Dört elemanlı alt kümelerin sayısı, üç elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin kaç tane beş elemanlı alt kümesi vardır?
    Çözüm : Kümenin eleman sayısı: 4 + 3 = 7 dir. O halde yedi elemanlı kümenin 5 elemanlı alt küme sayısı: ( ) = = 21 bulunur.
    Bir kümenin 3 den az elemanlı alt kümelerinin sayısı 16 ise o küme kaç elemanlıdır?
    Çözüm : 3 den az elemanlı, ∆ , bir elemanlı ve 2 elemanlı alt küme sayısı demektir. Küme n elemanlı ise
    ( ) + ( ) + ( ) = 16
    + + = 16,
    1 + n + = 16
    2 + 2n + n2 - n = 32
    n2 + n - 30 = 0
    (n - 5) (n + 6) = 0 ª n = +5 ve n = -6 eleman sayısı negatif olamaz.
    Kümenin eleman sayısı 5 dir.
    A = { 1, 2, 3, 4, 5, x, y } kümesinin, içerisinde x, y elemanları bulunmayan, dört elemanlı alt kümesi kaç tanedir?
    Çözüm : x, y elemanları bulunan dört elemanlı alt küme sayısı
    ( ) = = 10.
    A kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı:
    ( ) = = 35 dir.
    x, y elemanları bulunmayan dört elemanlı küme sayısı : 35 - 10 = 25 dir.
    SONLU KÜME
    Kendi öz alt kümelerinden hiçbiri ile 1 - 1 eşlenemeyen kümelere sonlu küme denir.
    Örneğin A = {1, 2} kümesi sonlu kümedir.
    Öz alt küme sayısı 31 olan bir kümenin 3 elemanlı alt kümesi kaç tanedir? (Bu küme sonlu mudur?)
    Çözüm : n elemanlı kümenin öz alt kümesi 2n - 1 = 31 ®2 n = 32 = 25
    n = 5 bulunur. Bu küme sonludur. 5 elemanlı kü-menin üç elemanlı alt küme sayısı ise ( ) = = 10 bulunur.

    KÜMELERDE İŞLEMLER

    BİRLEŞİM (È ) :
    Tanım : A ve B kümelerinin birleşimi :
    A È B = { x : x Î A veya x Î B } dir.
    Örneğin A = {a, b, c} B = {c, d, x, y} ise A È B = {a, b, c, d, x, y} dir.
    Şema ile


    BİRLEŞİMİN ÖZELLİKLERİ (È )
    1. A È A = A
    2. A È B = B È A (Değişme)
    3. (A È B) È C = A È (B È C) (Birleşme)
    4. A È ∆ = ∆È» A = A
    5. (A Ã B) ® A » B = B
    6. (A Ã B) ® (A » C) Ã (B » C) (Her C için)
    7. (A Ã B) ®A Ã (B » C) (Her C için)
    8. (A = B) ®(A » C) = (B » C) (Her c için)
    9. (A » C) = (B » C) olması A = B olmasını gerektirmez.
    10. (A » C) Ã (B » C) olması A Ã B olmasını gerektirmez.

    (9. ve 10. da görüldüğü gibi birleşimde sadeleşme özelliği yoktur.)

    KESİŞİM («)
    A ve B kümelerinin kesişimi:
    A « B = { x | x ÎA ve x Î B }
    Örneğin A = { 1, 2, 3, 4} ve B = {1, 3, 5, 7, 9}
    A « B = {1, 3} tür.
    Şema ile A « B nin gösterimi
    dır.
    KESİŞİMİN ÖZELLİKLERİ («)
    1. A « A = A
    2. A « ∆ = ∆ « A = ∆
    3. A « B = B « A (Değişme)
    4. (A « B) « C = A « (B « C) (Birleşme)
    5. (A Ã B) ® A « B = A
    6. (A Ã B) ® (A « C) Ã (B « C) ("C, için)
    7. (A Ã B) ® (A « C) Ã B ("C, için)
    8. (A Ã B) ® (A « C) Ã (B » D) ("C, D için)
    9. (A = B) ® (A « C) = (B « C) ("C, için)
    10. (A « C) = (B « C) olması A = B olmasını gerektirmez.
    11. (A « C) Ã (B « C) olması A Ã B olmasını gerektirmez.


    Not: Kesişimin eşitlik ya da alt küme olmada sadeleşme özelliği yoktur.

    Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği vardır.

    Birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği vardır.

    A ve B kümelerinin birleşimlerinin eleman sayıları

    A, B, C kümelerinin birleşiminin eleman sayısı :
    AYRIK KÜMELER
    A « B = ∆ ® A ve B ayrık kümedir.
    Ayrık kümelerde


    Bir sınıfta bulunan öğrencilerin tümü voleybol veya basketboldan en az birini oynamaktadır. 21 öğrenci voleybol, 24 öğrenci basketbol ve 7 öğrenci de herikisini de oynadığına göre bu sınıfta kaç öğrenci vardır?

    Çözüm :
    V: Voleybol oynayanların kümesi,
    B: Basketbol oynayanların kümesi ise,
    s(V » B) = s(V) + s(B) - s(V « B)
    = 21 + 24 - 7
    = 38 bulunur.
    Venn şeması ile çözün:
    s(V » B) = 14 + 7 + 17 = 38 bulunur.


    Bir spor kulübünde futbol oynayan 60, voleybol oynayan 42 ve basketbol oynayan 40 kişi vardır. Bu kulüpte futbol - voleybol oynayan 18, futbol basketbol oynayan 16, her üçünü de oynayan 14 kişi bulunuyor. Bu kulüpte kaç sporcu vardır?


    Çözüm :
    s(F»B»V) = 60 + 42 + 40 - 20 - 18 - 16 + 14 = 102
    sporcu
    Venn şeması ile çözüm:


    Venn şeması ile çözümde daima en çok kesişen bölgeden başlanır.
    Oyuncu sayıları şekilde görüldüğü gibi yerleştirilir. Toplamı
    38+6+14+2+18 + 4 + 20 = 102 bulunur.
    EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME
    Verilen kümeyi alt küme kabul eden kümeye onun evrensel kümesi denir. E ile gösterilir.
    Örneğin, A = {0, 1,2 3, 4} ise
    E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, veya
    E = {x | x 0 ≤ x < 20, x Œ N} ya da
    E = N olarak alınabilir.

    Not: Evrensel küme verilmemiş ise biz en dar olanını tercih ederiz.



    TÜMLEME
    Bir A kümesinin elemanı olmayıp da onun evrensel kümesinin elemanlarından oluşan kümeye A nın tümleyeni denir. Ve A' yada ~A biçiminde gösterilir.


    E = {0, 1, 2, 3, , 5} ve A = {0, 2, 4} ise A nın tümleyeni;
    A' = {1, 3, 5} kümesidir.

    TÜMLEME ÖZELLİKLERİ
    1. (A')' = A
    2. ∆' = E
    3. E' = ∆
    4. (A»B)' = A'«B'
    5. (A«B)' = A' » B'
    6. A Ã B ® B' Ã A'
    7. A « B = ∆ = A Ã B' ve B Ã A'
    8. A » A' = E
    9. A « A' = ∆





    FARK KÜMELERİ
    A ve B kümelerinin farkı A \ B = {x | x Œ A ve x œ B} olarak tanımlanır.
    Örneğin; A = {1, 2, 3, 4} ve B = {1, 3, 4} ise
    A \ B = {2, 4}


    A = {x | 2≤ x < 7, x Œ R}
    B = {x| 5 < x ≤ 11, x Œ R} ise
    A \ B kümesini bulunuz?

    Çözüm :
    A ve B kümelerini reel sayı ekseninde gösterelim.
    A \ B = {x | 2 ≤ x ≤ 5 x Œ R}
    Bunu x Î [2; 5] şeklinde de gösterebiliriz.



    FARK KÜMELERİNDE ÖZELLİKLER
    1. A \ A = ∆
    2. A \ ∆ = A
    3. ∆ \ A = ∆
    4. A \ B = A « B'
    5. (A\B) »B = A » B
    6. (A \ B) « B = ∆
    7. (A \ B)' = A' » B
    8. (A \ B) » (B \ A) = (A » B) \ (A « B)
    9. (A \ B) « A = A \ B
    10. (A \ B) » A = A
    11. (A \ B) » (A « B) = A




    (A \ B) \ C nin eşiti aşağıdakilerden hangisi olamaz?
    A) A « B' « C' B) A \ (B » C)
    C) A «(B»C)' D) (A \ B) « C'
    E) A « B « C'

    Çözüm :

    (A\B) \ C = (A \ B) « C'
    = (A « B') « C'
    = A « (B' « C')
    = A « (B » C)'
    = A \ (B » C)
    Burada bulunan eşitlikler A, B, C, D seçeneklerinde var. O halde
    Cevap : E dir.


    Taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir?
    A) A « B « C B) A « ( B » C)'
    C) (A « C)' « C D) B « (A » C)'
    E) B « (A « C)'

    Çözüm :
    Taralı bölge B nin içinde A ile C nin dışında olduğu için B « (A » C)' cevapdır.
    Cevap : D




    s(A \ B) = 5, s(A « B) = 2 ise s(A) nın eşiti nedir?
    A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

    Çözüm :
    (A \ B) » (A « B) = A olduğu için s(A) = 5 + 2 = 7 bulunur.
    Cevap : E
    s(A) = 2s(B), s(A \ B) = 10 ve
    s(A « B) nin alt kümelerinin sayısı 16 ise A » B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
    A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 20

    Çözüm :
    (A \ B) » (A « B) = A olduğu için 10 + 4 = s(A) ve s(B) = s(A) olduğundan s(B) = 7; s(B \ A) = 3 bulunur. Bunları Venn şemasına yerleştirirsek
    s(A » B) = 17
    Cevap : C


    Bir E evrensel kümesinde verilen A ve B kümeleri için s(A) + s(B') = 18, s(B) + s(A') = 24 ise bu evrensel küme kaç elemanlıdır?
    A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24


    Çözüm :
    S(A) + s(A') = s(E) ve s(B) + s(B') = E olduğu için verilenleri taraf tarafa toplayalım.

    2 s(E) = 24 ® s(t) = 21 bulunur.
    Cevap : B


    s(B') = 13, s(A') = 10 ve s(B) = 8 ise s(A) kaçtır?

    Çözüm :
    s(B) + s(B') = s(E) O halde
    s(E) = 13 + 8 = 21 dir.
    s(A) + s(A') = s(E) olduğundan
    s(A) = 21 - 10 = 11 bulunur.
    taralı bölge A È B dir.
#07.09.2010 23:41 0 0 0
flora33 flora33 foto
  • VENN ŞEMASI YÖNTEMİ


    Bir kümedeki elemanların kapalı bir eğri içinde belirtilerek verilmesine,kümenin Venn Şeması ile gösterilmesi denir.

    ÖRNEK
    Rakamlar kümesini venn şeması ile gösterelim.






    LİSTE YÖNTEMİYLE GÖSTERME


    Kümeyi oluşturan elemanların arasına virgül koyarak {........} biçiminde parantez içinde yazılmasıdır.


    ÖRNEK
    DERSANE kelimesinin harflerini liste yöntemi ile gösterelim.
    K={E,D,A,N,R,S} şeklinde olur.



    ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ İLE GÖSTERME


    Bir kümenin elemanlarının ortak özellikleri varsa ve bu ortak özellikler kümeyi belirtmek için yeterli ise ,bu küme elemanlarının ortak özellikleri ile küme parantezi içinde yazmak yeterlidir.Bir kümenin bu biçimde gösterilişine kümenin ortak özellik yöntemi ile gösterilmesi denir.

    ÖRNEK
    A={1,3,5,7,9}kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi;
    A={Bir basamaklı tek doğal sayılar} şeklindedir.
    B={Haziran,Temmuz,Ağustos} kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi;
    B={Yaz mevsiminin ayları}şeklindedir.
#28.09.2011 15:20 0 0 0