1. Ana Sayfa
  2. Bilim ve Teknoloji
  3. Zaman ve Olasılık

Zaman ve Olasılık

Son güncelleme: 04.11.2010 13:45
Gül_yarasi Gül_yarasi foto
  • Zaman Nedir - Olasılık Hakkında - Zaman Olasılık Kuramları Nelerdir - Zaman Olasılık Hakkında - Zaman Olasılık Hakkında Bilgi
    Önsöz :Matematiğin sınırı olmaz derler. İnsan aklı elverdiğince matematiğin engin sularında yüzüp akla hayale gelmedik hareketler yapabilir. İş gerçek dünyaya indiğinde ise matematikte yapabildiğimiz her şeyi gönlümüzce yapamadığımızı görürüz. Gerçek dünya dediğimiz olgu bizleri şaşırtır. Hayalimizde neredeyse mükemmel ve kayıpsız çalışacağını düşündüğümüz bir mekanizma kurarız ama hayata geçirdiğimiz zaman hesapladığımız kadar iyi çalışmadığını görürüz. Bu verim kaybı maddenin entropi dediğimiz ve zaman içerisinde arttığı ispatlanmış olan maximum düzensizlik / minimum enerji haline geçmekte oluşundan gelir. Oysa ki bütün herşey kesin kabul edilen mükemmel formüllerle tasarlanmıştır. Olasılık da aynı şekilde kurgulanmış her zaman izole U örnek uzaylarında bilim adamları tarafından teorisi geliştirilmiş bir bilim dalıdır. Bu bilimi de gerçek hayattaki sorunlara uyguladığımızda yeterince iyi sonuçlar alamamaktayız. Çünkü sonuçlar her daim U örnek uzayının dışından da sonuçlar içermektedir. Burada önsözü kesip sonunda çok önemli sonuçlara varacağımız "ne teori ne de hipotez" tartışmamıza başlıyorum.

    a.Olasılık
    U örnek uzayındaki a,b,c olası sonuçlarının olasılıkları toplamı P(a)+P(b)+P(c) olarak gösterilebilir ve toplam 1'e eşittir. Örneğin bir yazı-tura atımında paranın yazı veya tura gelme olasılığı eşit olup %50 - %50'dir. Buna olasılık diyoruz. Bu olasılık teorisini de her türlü gerçek hayat problemine uyguluyoruz. Bu son derece pratik olmakla bilrikte gözümüze bir perde çekmekte ve ilerlemeyi engellemektedir.
    b.Yeni Olasılık ( Zamanın bir fonksiyonu olarak olasılık )
    Gerçekçi olmak gerekirse dünyadaki hiçbir olay zamandan bağımsız değildir. Hayali bile olsa üst üste yazı tura atmak isteseniz yine de zamanın geçtiğini kabul etmek zorundasınızdır. O yüzden ister geçmişte gerçekleşmiş bir olay üzerine yapılan tahminler, ister şimdi olmakta olan bir olay hakkındaki hesaplamalar isterse de gelecekte olacak olan olaylar hakkındaki olasılık hesapları zamanın bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir !
    Önce olasılık formülünü düzeltelim :
    Gerçek hayatta bir yazı-tura atışması gerçekleştireceğimiz zaman aslında 2 değil çok daha fazla olasılık vardır. Yazı gelir, tura gelir, para dik kalır, yazı-tura olayından vazgeçilir, taraflardan birisi ölür yazı tura atılamaz gibi. Dikkat edilirse pek çok farklı sonuç olabilir biz her ne kadar tanımlamasak bile. Yazı tura için olasılık formülü şöyledir aslında :

    P(Yazı)+P(Tura)+P(Dik)+P(Vazgeçme)+P(Ölüm)+..

    S P(xi) = 1 (i=1,2,¥ ) > S P(xi) + e = 1 (i=1,2,n ) ( e çok küçük bir sayı)

    Burada P(Dik)+P(Vazgeçme)+P(Ölüm)+..= e olarak alınırsa

    P(Yazı) + P(Tura) + e = 1 'dir. (e , "white noise" kavramı ile çok yakındır )

    Paranın Yazı ya da Tura gelmesini etkileyen çok sayıda faktör vardır. Bunlar Paranın ağırlık merkezi, Hava sıcaklığı, Hava basıncı, Yer şekilleri ve yapısı, rüzgar, parayı atanın uyguladığı basınç, üst tarafı Tura mı yoksa Yazı mı seçtiği gibi atış anındaki pozisyon, dünyanın açısal dönme momentumu yani lokasyon vs sayılabilir. Bu faktörler kontrol edilmesi imkansız olmakla birlikte birkaçını üst üste ekleyerek bazı sonuçlara varalım :

    1) Paranın ağırlık merkezi dolayısı ile olasılıklar şöyle dağılmış olsun:

    P(Yazı) = 0.501 , P(Tura) = 0.499 ve e= 0.000 >0

    P(Yazı)'nın olasılığının fazla olmasının nedeninin paranın aşınması olduğunu bildiğimizi farz edelim. DSevren > 0 ispatlı gerçeğinden hareketle aşınmanın zaman içerisinde devam edeceğini öngörebiliriz. Her atışta

    "P(Yazı)t =P(Yazı)t-1 + sabit" ve "P(Tura)t =P(Tura)t-1 - sabit"

    Olarak olasılıklar değişecektir. ( t : zaman)

    Deneyimizde sadece yukarıdaki faktörün etken olduğunu varsayarsak şu sonuca varırız :

    Dengesi bozuk parayı ister 1 ister 1000000 defa atalım her seferinde YAZI gelecektir.

    1) Deneyimize şimdi ikinci bir bağıl değişkeni ekleyelim. Hava sıcaklığı. Hava sıcaklığına göre paranın yapısındaki farklı genleşme sıcaklıklarındaki metaller farklı oranda oynuyor ve sıcaklığa göre olasılıklar değişiyor.

    Sıcaklık Yazı Tura e
    -10 0,530 0,440 0,050
    0 0,520 0,450 0,020
    10 0,510 0,460 0,020
    20 0,500 0,470 0,020
    30 0,480 0,490 0,020
    40 0,470 0,510 0,020
    50 0,290 0,310 0,400



    Atışın yapıldığı sıradaki hava sıcaklığını 30 derece ve hava sıcaklığının zamanla artma eğiliminde olduğunu biliyorsak ve hava sıcaklığı ağırlık merkezini değiştirerek HEP TURA GELMESİNİ sağlayacaktır. Bu seferde istediğimiz kadar deneme yapalım sonuçta para atışı sonucu tura olacaktır.

    3) Üçüncü faktör olarak da modelimize yer şekillerini koyalım. Yer normalde düz ve sonuçlardan herhangi birine avantaj sağlamayacak şekilde olmalıdır. Ama özel modellediğimiz yerin paranın %50 oranda dik gelmesini sağlayacak şekilde ayarlandığını düşünelim.

    Bu durumda sonuç aşağıdaki şekilde olacaktır :

    Faktör Yazı Tura e Sonuç
    Sıcaklık 0,480 0,490 0,020 Tura
    Yer şekilleri 0,250 0,250 0,500 Sonuç yok
    ---------------------------------------------------------------------------------
    Sonuç 0,365 0,370 0,260 Tura

    Bu ikili, statik ve steril ortamda parayı atarsak MUTLAKA Tura gelecektir. Eğer yer şekilleri %70 olasılıkla para DİK gelecek şekilde düzenlenseydi tablo aşağıdaki gibi olurdu.

    Faktör Yazı Tura e Sonuç
    Sıcaklık 0,480 0,490 0,020 Tura
    Yer şekilleri 0,150 0,150 0,700 Sonuç yok
    ---------------------------------------------------------------------------------
    Sonuç 0,315 0,320 0,360 Sonuç yok

    Para istendiği kadar defa atılabilir ama sonuç bu şartlarda alınamayacaktır. Bu bahis gerçekleştirilemeyecektir. (Tabii paranın dik gelmesi olasılığını ayrıca hesaba almazlarsa)

    Fazla uzatmadan çıkarımlara gelmek istiyorum :

    Çıkarım 1 : Genel görelilik kuramına göre gök cisimleri, tüm madde evrenin 3 boyutlu dokusunu bozmakta ve cisimler en az enerji harcayacak şekilde hareket etmektedir. Bu durumda olasılığı 0,5 'in üzerindeki her olay / oluş mutlaka gerçekleşmektedir. Çünkü Olasılık 0,5'in üzeri genel görelilik anlamındaki zamanda en kısa yol demektir.
    0> Olasılık >0,5 ise olay setinin en büyük olasılığa sahip olanı gerçekleşir.

    Çıkarım 2 : Kesinliğinden emin olduğumuz bütün fizik / doğa vs. kanunları hakkında emin olduğumuz tek şey diğer olasılıklar içerisinde en yüksek değere sahip olduklarıdır. Örneğin , meşhur F=m x a formülünü alalım. Kuvvet = kütle çarpı ivmedir. Aslında;
    P( F) = P(m) x P(a) 'dır. m'in olasılıklı olmasının açıklaması nedir ? Ölçüm hatası. Yaptığımız ölçüm ya sonucu değiştirmektedir ya da sonucu etkilemektedir. Örneğin 40kg'lık bir cisim aslında 39,920 kg olabilir ve bu deneyimizde de hiç dikkat çekmez. Çünkü m'in doğruluk derecesi %99,8'dir. Bu "yeterince doğru"dur. İvme'de yeterince doğru olarak 10m/s değeri ile ölçülmüş olsun. %99,8. Bu durumda kuvvet değeri durumda %99,6 olasılıkla 400kgm/s olur. 99,6 > 0,5 olduğu için tereddütsüz bir şekilde sonuçlar ile uygun şekilde hesaplamalar yapabilmekteyiz. Eğer ivmeyi %49'dan daha düşük bir güvenilirlikle ölçseydik F=m.a formülünün kimi zaman tutarsız sonuçlar verdiğinden söz edecektik. Kesin bildiğimiz bütün kanunların olasılığı 0,5 ile 0,99 arasında değişmektedir ama aslında kesin değillerdir.

    Çıkarım 3: Zamanla bir olayı meydana getiren faktörelerin olayın bütününe yansıttığı olasılıklar değişime uğrayabilir. Bu değişimler parametrik olarak öngörülebilir, izlenebilir, formüle edilebilir.

    Çıkarım 4 : e değeri mutlak anlamda zamanın her akışında büyümektedir. Entropinin artması bu sonucu getirmektedir. Diğer her şey uygun olsa bile bu değer 0,5'i bulduğu anda bir daha sonsuza kadar yazı tura sonucu alınamayacaktır.


    Bu yeni matematik ve düşünce tarzı aşağıdaki gelişmeleri mümkün kılmaktadır :

    1) İnsan gibi öğrenen, yorumlayan, karar alan programlar , makinalar.

    2) İnsanlar için üretilecek parametre tahmincisi çok doğru kararlar almalarına yardımcı olacak, insanın "düşünmesine" gerek kalmayacaktır.

    3) Herşeyin Teorisine bir adım daha yaklaşılacaktır.

    4) Kuantum teorisinin olasılıkları ile büyükler dünyasının kesin sonuçlarının aslında aynı şeyler oldukları görülecektir. Anlık olasılığı büyük olan olay gerçekleşmektedir.

    5) Gelecek yine de tam bilinemeyecek ve bu bilinmezlik zamanla artarak büyüyecektir.

    Notasyon :
    t : zaman , t0 : 0 anındaki zaman, t1 : 1 anındaki zaman
    D : t+1 - t : Kısa bir zaman aralığı
    E : Mutlak Olasılık Uzayı
    F : Odak Olasılık Uzayı
    F Ì E
    s-algebra Ì F : Odak olasılık uzayındaki olay seti
    X Ìs-algebra : X odak olasılık uzayında olay setinin bir üyesi,
    Y : Mutlak olaslık uzayının bir üyesi,
    Pt : t anındaki X olayının gerçekleşme olasılığı
    e : Çok küçük pozitif bir sayı
    K : X olayının olasılığına etki eden faktör
    DP(KX) : K faktörünün X olayı olasılığına D zamanında yaptığı katkı (pos./neg)


    Arkadaşlar formülleri resim olarak aktaramıyorum... Ne yapmalı ?

    Shrödinger'in kedisinin akıbeti nedir

    Yukarıda fomüle ettiğimiz olasılık formülünü meşhur Shrödinger'in kedisi örneğine uygulayalım. İçinde öldürücü düzenek olan bir kutu içindeki kedi açısından zaman içerisinde iki seçenek vardır. Yaşıyor olmak veya yaşamıyor olmak. e olarak tanımladığımız olasılık "Yaşamamak" olarak verilsin. Başlangıç t0 anında da kedinin yaşadığı biliniyor olsun.
    Sağlıklı bir kediyi hava alabilen bir kutu içine koyalım. Kutuda zehirli bir gaz şişesi bulunsun ve bu gazın şişeden salınmasını sağlayacak mekanizma, bozunma yarı ömrü 1 saat olan bir radyoaktif parçacık ile kontrol edilsin. Bu mikroskobik parçacığın davranışını ancak kuantum mekaniği ile ifade edebiliriz, fakat şimdi makroskobik bir sistem olan kedinin kaderi de artık parçacığın davranışına bağlanmış oluyor. Schrödinger'in iddiasına göre 1 saat sonunda kedinin canlı ve ölü olma olasılıkları eşit. Dalga fonksiyonunun anlamı 'ya bozunma oldu ve kedi öldü ya da olmadı ve kedi hayatta' gibi uç iki olasılığı anlatmaktan ibaret değil. Schrödinger'in analizi doğru ise kuantum kuramı, (birisi bakıp durumu bu iki seçenekten birine indirgeyene kadar) kedinin iki durumunun yan yana bulunduğunu söylüyor.Yarı ölü-yarı diri. Schrödinger, bu kadar mantığa zıt bir kuramın düzeltilmeye muhtaç olduğu sonucuna varıyor. Buna karşılık birçok fizikçi (Hawking, Gell-Mann ve başkaları) bu problemin yapay olduğu görüşündeler."(1)


    E = { Yaşamak, Yaşamamak }

    Çok açıktır ki başlangıçta ;

    Pt0(Yaşamak) > Pt0(Yaşamamak) 'tır.

    Ancak kurulan düzeneğin doğası gereği zaman içerisinde olasılıkların değişimi şöyle olacaktır ( Zaman için saniyeyi alalım. Malzemenin yarılanma ömrü 1 saat ise bozulmuş olma olasılığı her saniye yaklaşık 0,0001 olarak artacaktır ):
    (t = ln(2)/l)

    Pt1(Yaşamak)= Pt0(Yaşamak)- DP(KX)
    Pt1(Yaşamamak)= Pt0(Yaşamamak)+ DP(KX)
    et1 > et0

    Pt1(Yaşamak) + Pt1(Yaşamamak) + et1 = 1 di.

    Pt0(Yaşamak) -0,0001 + Pt0(Yaşamamak)+0,0001+ et0 = 1 'dir.

    O halde geçen her saniyede yaşamak olasılığı 0,0002+e kadar azalmaktadır.

    Peki bir saat sonunda kedinin durumu nedir ?

    Pt0(Yaşamak) = 0,999 varsayılsa bile 3600 sn. sonunda bu olasılık 0,639'a düşecektir.
    Yani en geç 83 dakika sonunda kedi ölmüş olacaktır !!! Bir saat sonraki durum ise bir saat önceki P(Yaşamak) değerine bağlıdır. Eğer o değerin 0,861'den küçük olduğunu biliyorsak kesinlikle 1 saat sonra ölmüş olacağını da biliriz. İlginç değil mi ?
    Daha ilginci, kedi gerçekte Pt(Yaşamamak) > Pt(Yaşamak) olduğu an ölecektir. Kediyi kutu içine yaşarken koymuş olsak bile soruyu sorduğumuz anda yine de yaşamıyor olma olasılığı bulunmaktadır.

    alinti
#04.11.2010 13:45 0 0 0