Bağıntının Özellikleri
Son güncelleme:
-
bağıntının tersi - kartezyen çarpımın özellikleri - bağıntının simetrik özellikleri - bağıntının yansıma özellikleri - bağıntı sayısıA dan B ye bir ß bağıntısı verilsin. ß bağıntısındaki bütün ikililerin birinci ve ikinci bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen bağıntıya, ß bağıntısın tersi denir ve ß ile gösterilir.
ß A x B
ß B x A
ß = {(y,x)│(x,y) € ß }dır.
Örnek - 10:
ß = {(1,1),(1,2),(3,4),(2,1)} ise
ß = {(1,1),(2,1),(4,3),(1,2)} dir.
Örnek - 11:
A = {2,3,4} kümesinde
ß = {(x,y) │x <>
bağıntısı tanımlanıyor.
ß ve ß i liste yöntemiyle yazıp grafiğini gösterelim.
Çözüm
x
A = {2,3,4} ise, ß = { (2,3),(2,4),(3,4)} ve
ß = {(3,2),(4,2),(4,3)} olur.
Sonuç: ß bağıntısının grafiği ile ß bağıntısının grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.
Örnek - 12:
Sayma sayıları kümesiyle tanımlı,
ß = { (x,y) │x + 2y = 10 }
bağıntısı veriliyor.
Buna göre, ß bağıntısını tanımlayıp elemanlarını bulalım.
Çözüm
ß = { ( x,y) │x + 2y = 10 } ise
ß = { ( x,y) │y + 2x = 10} olur.
X ve y birer sayma sayısı ve y + 2x = 10 olduğuna göre,
x = 1 è y + 2 . 1 = 10 è y = 8
x = 2 è y + 2 . 2 = 10 è y = 6
x = 3 è y + 2 . 3 = 10 è y = 4cc
x = 4 è y + 2 . 4 = 10 è y = 2 olur.
Buna göre , ß = { (1,8),(2,6),(3,4),(4,2) } dir.
BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
1.Yansıma Özeliği
ß, A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A nın her x elemanı için (x ,x) € ß bağıntısının yansıma özeliği vardır veya ß yansıyan bir bağıntıdır denir.
Örnek - 14 :
A = {1,2,3}
Kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyandır?
A) ß1 = { }
B) ß2 = {(1,1),(2,2)}
C) ß3 = {(1,1)(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}
D) ß4 = {(1,1),(1,3),(2,3),(3,1),(2,1)}
E) ß5 = A x A - { ( 1, 1) }
Çözüm
ß3 bağıntısı yansıyandır.Çünkü x € A için (x,x) € ß3 tür.Yani ß3 de
(1,1),(2,2) ve (3,3) elemanları vardır . ß1 , ß2 , ß4 ve ß5 de bu elemanlardan bazıları yoktur.
Cevap C
UYARI : ß A x A ve ß = { (x,y)│x € A ve y € B}
Bağıntısının yansıyan olup olmadığını anlamak için, bağıntıda y yerine x
yazılır.Elde edilen bağıntı A kümesinde daima doğru ise b bağıntısı yansıyandır.
Örnek - 15 :
A = {1 , 3 , 5 , 7} kümesinde
ß = {(x,y) │x ≤ y }
bağıntısı tanımlanıyor.
ß bağıntısının yansıyan olduğunu gösterelim.
Çözüm
Bağıntıda y yerine x yazalım. x ≤ y, x ≤ x olur.
Bu ifade daima doğru olduğundan ß yansıyandır.
Sonuç: Yansıyan bağıntının elemanları koordinat düzleminde gösterildiğinde köşegen (y = x doğrusu) üzerindeki elemanların hepsi bağıntıya aittir.
2. Simetrik Özeliği
ß, A da tanımlı bir bağıntı olsun.Eğer her (x,y) € ß için (y,x) € ß ise ß bağıntısının simetri özeliği vardır veya ß simetriktir denir.
Örnek - 16:
A = {2,4,6,8} kümesinde tanımlı,
ß1 = {(2,4),(4,2)} bağıntısı simetriktir.
ß2 = {(2,2),(4,4),(6,6)} bağıntısı simetriktir.
ß3 = {(2,4),(4,2),(2,6)} bağıntısı simetrik değildir.
ß4 = ß3 {(6,2)} bağıntısı simetriktir.
UYARI : 1) ß bağıntısı simetrik ise ß = ß dir.
2) Simetrik olan ß bağıntısının elemanları koordinat şemasıyla gösterilirse elemanların köşegene (y = x doğrusuna ) göre simetriği vardır.Köşegen üzerinde eleman bulunabilirç
3) ß A x A ve ß = {(x,y) │ (x,y) € A x A)} bağıntısının simetrik olup olmadığını anlamak için,bağıntıda x ile y nin yerleri değiştirilir.Elde edilen bağıntı verilen bağıntı ile aynı ise verilen bağıntı simetriktir.
Örnek - 18:
Sayma sayıları kümesinde,
ß = {(x,y) │ 3 böler ( x + y)}
bağıntısının simetrik olduğunu gösterelim.
Çözüm
3 sayısı ( x + y ) yi bölerse, ( y + x ) i de böler.O halde, ß bağıntısı simetriktir.
Örneğin, (1,2) € ß è ( 2 , 1 ) € ß dır.
3.Ters Simetrik Özeliği
ß , A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun.
# Her (x,y) € ß için (x,y) € ß iken x = y oluyorsa,
# x ≠ y iken her (x,y) € ß için (y,x) ß ise
ß bağıntısının ters simetri özeliği vardır veya ß ters simetrik bir bağıntıdır denir.
Sonuç : ( x , x ) biçiminde bir ikilinin ß da olması ß nın ters simetri özeliğini bozmaz.
Örnek - 18 :
A = {0,1,2,} kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki bağıntıların ters simetri özeliği vardır.
ß1 = {(1,3)}
ß2 = {(1,1),(2,2),(1,0)}
ß3 = {(0,0),(1,2),(1,3),(2,1)}
Çözüm
(1,3) € ß1 iken (3,1) ß1 olduğundan ß1 ters simetriktir.
(1,0) € ß2 iken (0,1) ß2 olduğundan ß2 ters simetriktir.
(1,2) € ß3 iken (2,1) ß3 olduğundan ß3 ters simetrik değildir.
UYARI : 1) Simetrik ve ters simetri özeliklerinden her ikisini de aynı anda sağlayan bağıntılar olabileceği gibi iki özeliğin ikisini de sağlayan bağıntılar da olabilir.
2) ß = {(x,y) │x € A ve y € A, (x,y) € A x A} bağıntısının ters simetrik olup olmadığını anlamak için, bağıntıda x ile y nin yerleri değiştirilir.Elde edilen bağıntı x ≠ y iken verilen bağıntıyla ortak çözülür.Çözüm kümesi boş küme ise bu bağıntı ters simetriktir.
Örnek - 19:
Sayma sayıları kümesi üzerinde tanımlanan
ß = {(x,y) │ y = x + 1}
bağıntısının ters simetrik olup olmadığını inceleyelim.
Çözüm
Bağıntıda x ile y nin yerleri değiştirilerek elde edilen denklemle verilen bağıntıdaki denklemi ortak çözelim.
y = x + 1 (1)
x = y + 1 (2)
(1)deki y değerini (2) de yazalım.
x = x + 1 + 1
x = x + 2
x - x = 2
0 = 2
Bu bir çelişkidir. Yani ;iki denklemin ortak çözüm kümesi boş kümedir.
O halde ß bağıntısı ters simetriktir.
Örnek - 20:
A = {2,4,6,8} kümesinde tanımlanan
ß1 = {(2,2),(4,4),(6,6),(8,8)}
ß2 = {(2,2),(2,4),(4,2),(4,6)}
ß3 = {(2,4),(4,2)}
ß4 = Ǿ
bağıntılardan;
ß1 de ; yansıma , simetri ve ters simetri özelikleri vardır.
ß2 de ; yansıma , simetri ve ters simetri özeliklerinden hiçbiri yoktur.
ß3 de ; yansıma ve ters simetri özeliği yoktur. Fakat simetri özeliği vardır.
ß4 de ; yansıma yok , simetri ve ters simetri özeliği vardır.
4.Geçişme Özeliği
ß , A da tanımlı bir bağıntı olsun.
Her [(x , y) € ß ve (x , y) € ß oluyorsa ß bağıntısının geçişme özeliği vardır veya ß , A da geçişken bir bağıntıdır denir.
Örnek - 21 :
A = { 0 , 2 , 4 , 6 } kümesinde tanımlı
ß1 = {(2 , 4),(4 , 6),(4 , 6)}
ß2 = {(6 , 4)}
ß3 = {(2 , 4),(2 , 6),(4 , 0),(4 , 6)}
bağıntılarından hangileri geçişkendir ?
Çözüm
ß1 geçişkendir. Çünkü , (2 , 4) € ß1 /\ (4 , 6) € ß1 iken (2 , 6) € ß1 dir.
ß2 geçişkendir. Bir elemanlı bağıntılar daima geçişkendir.
ß3 geçişken değildir. (2 , 4) € ß3 /\ (4 , 0) € ß3 iken (2 , 0) ß3 tür.
(2 , 4) € ß3 /\ (4 , 6) € ß3 olması ß3 te geçişme özeliğinin varlığını göstermez.
UYARI : ß = {(x , y) │x € A ve y € A, (x , y) € A x A}
Bağıntısının geçişken olup olmadığını anlamak için , bağıntıda x yerine y , y yerine z yazılarak elde edilen bağıntı , verilen bağıntı ile ortak çözülür ve (x,z) nin ß elemanı olduğu gösterilirse verilen bağıntı geçişkendir denir.
Örnek - 22 :
Sayma sayıları kümesi (N ) üzerinde
ß = {(x , y) │x + 3y = 4k , k € N }
bağıntısı tanımlanıyor.
Bu bağıntının geçişken olduğunu gösterelim.
Çözüm
(x , y) € ß è x + 3y = 4 k1 , (k1 € N ) . . . (1)
(y , z) € ß è y + 3z = 4 k2 , (k2 € N ) . . . (2)
(1) ve (2) taraf tarafa toplanırsa,
x + 4y + 3z = 4 k1 + 4 k2
x + 3z = 4 k1 + 4 k2 - 4y
x + 3z = 4 k(k1 + k2 + - y) , [(k1 + k2 - y) € N ] . . . (*)
O halde, x + 3 . z de 4 ün tam katıdır.
Yani (x , z) € ß dır.
D. Bağıntı Sayısı
s(A) = m
s(B) = n
olsun.
1) A dan B ye tanımlanan bağıntı sayısı : 2 dir.
2) B den A ya tanımlanan bağıntı sayısı : 2 dir.
3) A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı : 2 dir.
alıntı