1. Ana Sayfa
  2. Eğitim
  3. Permütasyon Ve Kombinasyon Problemleri

Permütasyon Ve Kombinasyon Problemleri

Son güncelleme: 17.04.2012 20:36
MiSS-FENER MiSS-FENER foto
  • Kombinasyon Problemleri - Kombinasyon Problemleri Konu Anlatım - Permütasyon Problemleri - Permütasyon Problemleri Örnek Soruları

    SAYMANIN TEMEL KURALLARI

    Toplama Kuralı :

    Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının topla-mı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

    s(A)= m , s(B)= n ve A ile B'nin kesişimi boş küme ise birleşimin eleman sayısı
    s(A) + s(B)= m+ n' dir.

    O halde ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

    Örnek:
    5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir? (ya bir bay veya bir bayan seçile-cek)

    Çözüm:
    5 bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan 5 + 3 = 8 yolla seçilebilir.


    Çarpma Kuralı :

    n bir sayma sayısı olmak üzere a1, a2, a3,..., an ile gös-terilen n tane nesne için (a1, a2)' ye sıralı ikili, (a1, a2, a3)'e sıralı üçlü ... (a1, a2, a3,..., an )'e sıralı n'li denir.

    Sıralı ikililerin kümesini A2 , Sıralı üçlülerin kümesi-ni A3 , Sıralı dörtlülerin kümesini A4 .... şeklinde gös-terelim.
    A1 , A2 , A3 , ... , Ar kümelerinin elemanlarının sayısı
    n1 , n2 , n3 , ... , nr olsun. Bu durumda
    s(A1.A2.A3...Ar)=s(A1).s(A2).s(A3)...s(Ar)=n1.n2.n3...nr olur.

    Yukarıdaki genel kuralı iki işlem için açıklayalım:

    İki işlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.

    Örnek:
    5 bay ve 3 bayan arasından1 bay ve 1 bayan kaç yol-la seçilebilir? (hem bir bay hem de bir bayan seçile-cek )

    Çözüm :
    5 Bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 değişik şekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladığımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan
    5.3 =15 yolla seçilebilir.


    FAKTÖRİYEL

    1'den n'e kadar olan tamsayıların çarpımına "n fak-töriyel" denir ve n! şeklinde gösterilir.
    1.2.3.....n = n!
    0!=1
    1!=1
    2!=1.2 = 2
    3!=1.2.3= 6
    4!=1.2.3.4 = 24
    Uyarı :
    n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
    5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2!
    9! = 9.8! = 9.8.7! = 9.8.7.6! = 9.8.7.6.5! gibi.


    Örnek: 15! 13! =?
    Çözüm : 15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyük-tür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz.
    15! 13! = 15.14.13! 13! =15.14=210
    Örnek: n! (n−2)! =?

    Çözüm :
    n ve (n−2) arasında n sayısı (n−2) den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz.
    n! (n−2)! = n.(n−1).(n−2)! (n−2)!=n.(n−1)


    Kural : n tane eşyayı n tane yere n! kadar farklı şe-kilde dizeriz.
    Örnek: 4 tane ampul 4 tane yere kaç farklı şekilde takılabilir?

    Çözüm : Açıklayıcı olması için ampullere A , B , C ve D yerlere 1, 2, 3 ve 4 diyelim. A ' dan başlayarak am-pulleri takalım. A ampulü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampulünün takılması için 4 yol var. A ampu-lünü taktıktan sonra 3 ampul ve üç yer kalır. B am-pulü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampulünün takılması için 3 yol var. A ve B ampulünü taktıktan sonra 2 ampul ve 2 yer kalır. C ampulü 2 yerden bi-rine takılabilir. Yani C ampulünün takılması için 2 yol var. A , B ve C ampulünü taktıktan sonra 1 ampul ve 1 yer kalır. D ampulü 1 yere takılabilir. Yani D ampulünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına dizilişi 5! yolla olur. 3 fizik kitabının kendi arasındaki dizilişi 3! yolla olur.Buna göre matematik kitapları ve fizik kitapları, aynı dersin kitapları yan yana gel-mek şartıyla 2!.3!.5! yolla dizilebilir.
    c) Fizik kitapları yan yana gelince 1 kitap gibi olur. Fizik kitaplarını 1 kitap gibi düşünelim. Bu durumda 6 kitap varmış gibi düşünülebilir. Bu 6 kitabın 6! farklı dizilişi vardır. Fizik kitapları kendi arasındaki dizilişi 3! yolla , 5 matematik ve 3 fizik kitabı, fizik kitapları yan yana gelmek şartıyla 6!.3! yolla dizile-bilir.

    d) 8 kitabın belli ikisi A ve B olsun. A ve B' yi bir ki-tap gibi düşünelim. Bu durumda 7 kitap olduğu dü-şünülebilir. Bunların yan yana dizilişi 7! yolla yapı-labilir. A ve B kitaplarının kendi aralarındaki dizilişi 2! olduğu için, 8 kitap; belli ikisi yan yana gelmek şartıyla 7!.2! yolla dizilebilir.

    e) 1. Sıraya ve 8. Sıraya fizik kitabı 2.,3., ....., 7. sırala-ra diğer 6 kitap dizilirse uygun diziliş gerçekleşir. Buna göre, 1. sıraya gelecek fizik kitabı 3 fizik kitabı arasında 3 yolla, (1.sıraya gelecek fizik kitabı belir-lendikten sonra) 8. sıraya gelecek fizik kitabı diğer iki fizik kitabı arasından 2 yolla belirlenebilir. Diğer 6 kitabın dizilişi 6! Yolla belirlenebilir. O halde 8 kitap kenarlara fizik kitabı gelmek şartıyla,
    3.2.6! =3!.6! yolla dizilebilir.

    PERMÜTASYON :

    r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak üzere , n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r' lilerine A kümesinin r' li permütasyonları denir.

    n elemanlı A kümesinin r' li permütasyonlarının sa-yısı P(n,r)= n! (n−r)!
    formülü ile bulunur.

    Örnek:
    Farklı renkte 7 mendilin 3' ü, bir öğrenciye 1 mendil verilmek şartıyla 3 öğrenciye kaç farklı şekilde veri-lebilir?

    Çözüm:
    A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayısı 7 ' dir.
    n = 7 , üç mendil dağıtılacak. r = 3 olur. Bu mendil-ler ; P(7,3)= 7! (7−3)! = 7! 4! = 7.6.5.4! 4! =7.6.5=210
    farklı şekilde dağıtılabilir.

    DÖNEL (DAİRESEL) SIRALAMA :

    n tane farklı elemanın daire şeklinde bir yere sıra-lamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yan yana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıra-lanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur.

    Örnek:
    7 kişilik bir heyet bir masa etrafında oturacaktır.
    a) Bu heyet yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
    b) Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir?
    c) Heyet başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şar-tıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler?

    Çözüm :
    a) 7 kişi yuvarlak masa etrafında (7-1)! = 6! farklı şekilde oturabilir.
    b) Bu heyet düz bir masa etrafında 7! farklı şekilde oturabilir.
    c) Başkan ve yardımcısını bir kişi gibi düşünelim. Bu durumda 6 kişinin yuvarlak masa etrafında oturma-sı söz konusu olur. 6 kişi yuvarlak masa etrafında
    (6-1)! = 5! farklı şekilde oturabilir. Ayrıca başkan ve yardımcı aralarında 2! değişik şekilde oturabilir. Buna göre heyet, başkan ve yardımcı yan yana gel-mek şartıyla, 5!. 2! farklı şekilde oturabilir.


    Örnek:
    3 avukat, 4 öğretmen yuvarlak bir masa etrafına oturacaktır. Aynı meslek grubuna ait kişiler yan ya-na oturmak koşuluyla, kaç farklı şekilde oturabilir-ler?
    A) 2! . 3!
    B) 3! . 4!
    C) 2! . 3! . 4!
    D) 3! . 4! . 2!
    E) 3! . 4! . 3!

    Örnek:
    Ali ve Veli'nin de aralarında bulunduğu 6 kişi ara-sından, aralarında Ali'nin bulunduğu ve Veli'nin bu-lunmadığı 4 kişilik grup kaç farklı şekilde seçilebilir?

    Çözüm:
    Ali ve Veli arasından Ali seçilir, Veli seçilmez ve di-ğer 4 kişi arasından 3 kişi seçilirse istenen şart sağ-lanır. Buna göre, Veli seçme dışıdır. Ali'yi mutlaka seçeceğiz ve Veliyi dışarıda bırakacağımız için seç-meye katılacak 6 - 2 = 4 kişi kalır. Bu 4 kişi arasın-dan 3 kişinin seçimi C (4,3) ile bulunur.

    C(4,3)= 4! (4−3)!.3! = 4.3.2.1 1.2.3 =4

    Örnek: C(n,2)=21
    olduğuna göre, n kaçtır?

    A) 4
    B) 5
    C) 6
    D) 7
    E) 8

    Örnek:
    8 kişi arasından 6 kişilik bir ekip kaç değişik şekilde oluşturulabilir?
    A) 28
    B) 34
    C) 40
    D) 48
    E) 56

    Konunun Devamı Burada
#17.04.2012 20:36 0 0 0